Функція Салема

Функція Салема є функцією розподілу випадкової величини де — послідовність незалежних в сукупності випадкових величин, які набувають значень та з ймовірностями та відповідно, де

Потрібно відмітити, що при тобто має вироджений розподіл з параметром і відповідно При маємо тобто має рівномірний розподіл на відрізку

Актуальність

Функція Салема — одна із перших сингулярних строго зростаючих функцій на відрізку [1]. В деяких джерелах[2] відповідну функцію називають функцією Салема-Такача. Це викликано тим, що Такач, у відповідному дослідженні[3], розглядав аналогічну функцію для параметра
Функція Салема є цікавою тим, що є одним з перших прикладів строго зростаючих функцій розподілу, існування яких було далеко незрозумілим та неочевидним всілякому загалу наукового рівня відповідного характеру. У зв'язку з чим навіть в роботах достатньо визнаного характеру[4] зустрічалось означення сингулярної функції розподілу ймовірностей наступного типу: під сингулярною функцією розподілу ймовірностей розуміють функцію розподілу множина точок росту якої має міру Лебега 0.

Властивості

Для виконуються так властивості:

1) сингулярна, тобто майже скрізь в розумінні міри Лебега.

2) строго зростає на відрізку

3) Для функції Салема виконується наступна функціональна рівність причому

Відомо, що правильне обернене твердження: якщо неперервна функція задовольняє умови для деякого і то є функцією Салема[5].

4) задовольняє умову Гьольдера з показником який не можна покращити:

[6].

5) Якщо — множина точок таких, що то де розмірність Гаусдорфа-Безиковича[7].

6) Якщо характеристична функція випадкової величини то де [8].

Примітки

  1. Salem R. On some singular monotonic function which are strictly increasing. // Trans. Amer. Math. Soc. — 1943. — Vol.53, no.3. — 427-439 p.
  2. Працьовитий М.В. Фрактальний підхід у дослідженнях сингулярних розподілів. — Київ: Вид-во НПУ імені М. П. Драгоманова, 1998. — 296 с.
  3. Tacas L. An increasing continuous singular function // Amer. Math. Mon.— 1978. — 85. — 35-37.
  4. Боровков А.А. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1986. — 432 с.
  5. Морока В.А. К вопросу о функции распределения суммы случайного степенного ряда. // Случайные процесы и бесконечномерный анализ. — Киев.: Ин-т математики АН УССР, 1992. — 88-91 с.
  6. Турбин А.Ф., Працевитий Н.В. Фрактальные множества, функции, распределения. — Київ: Наук.думка, 1992. — 208 с.
  7. Працьовитий М.В. Фрактальний підхід у дослідженнях сингулярних розподілів. — Київ:Вид-во НПУ імені М.П. Драгоманова, 1998. — 296 с.
  8. Гончаренко Я.В. Асимптотичні властивості характеристичної функції випадкової величин з незалежними двійковими цифрами та згортки сингулярних розподілів. // Наукові записки НПУ імені Драгоманова. Фізико-математичні науки. — №3, 2002. — 376-390 с.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.