Розмірність Гаусдорфа

Означення розмірності Гаусдорфа складається з декількох кроків. Нехай ${\displaystyle M}$ — обмежена множина у метричному просторі ${\displaystyle X}$. Наприклад, нехай ${\displaystyle X=R^{n}}$.

Нехай ${\displaystyle \delta >0,\delta \in R}$. Не більш ніж зліченну сім'ю ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ підмножин простору ${\displaystyle X}$ будемо називати ${\displaystyle \delta }$-покриттям множини ${\displaystyle M}$, якщо виконуються такі дві властивості:

• ${\displaystyle M\subset \bigcup _{i\in I}U_{i}}$
• для всіх ${\displaystyle i\in I}$ діаметр ${\displaystyle {\text{diam }}U_{i}<\delta }$ (для всіх ${\displaystyle i\in I}$ діаметр множин ${\displaystyle U_{i}}$ менший за ${\displaystyle \delta }$.

Нехай ${\displaystyle \rho >0}$. Нехай ${\displaystyle \Theta =\{U_{i}\}_{i\in I}}$ — покриття множини ${\displaystyle M}$. Визначимо наступну функцію, яка в деякому плані визначає розмір цього покриття: ${\displaystyle F_{\rho }(\Theta ):=\sum \limits _{i\in I}(\operatorname {diam} \,U_{i})^{\rho }}$. Позначимо через ${\displaystyle M_{\rho }^{\delta }(M)}$ «мінімальний розмір» ${\displaystyle {\delta }}$-покриття множини ${\displaystyle M}$: ${\displaystyle M_{\rho }^{\delta }(M):=\inf(F_{\rho }(\Theta ))}$, де інфімум береться по всіх ${\displaystyle \delta }$-покриттях множини ${\displaystyle M}$. Очевидно, що функція ${\displaystyle M_{\rho }^{\delta }(M)}$ спадає по ${\displaystyle \delta }$. Отже, у неї є скінченна або нескінченна границя при ${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$: ${\displaystyle M_{\rho }(M)=\lim \limits _{\delta \rightarrow 0+}M_{\rho }^{\delta }(M)}$. Величина ${\displaystyle M_{\rho }(M)}$ називається ${\displaystyle \rho }$-мірою Гаусдорфа множини ${\displaystyle M}$.

• ${\displaystyle \rho }$-міра Гаусдорфа є борелівською мірою на ${\displaystyle X}$.
• з точністю до множення на коефіцієнт: 1-міра Гаусдорфа для гладких кривих збігається з їх довжиною; 2-міра Гаусдорфа для гладких поверхонь збігається з їх площею; ${\displaystyle d}$- міра Гаусдорфа множин у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ збігається з їхнім ${\displaystyle d}$-мірним об'ємом.
• ${\displaystyle M_{\rho }(M)}$ спадає по ${\displaystyle \rho }$. Більш того для будь-якої множини ${\displaystyle M}$ існує критичне значення ${\displaystyle \rho _{0}}$, таке, що:
  • ${\displaystyle M_{\rho }(M)=0}$ для всіх ${\displaystyle \rho >\rho _{0}}$
  • ${\displaystyle M_{\rho }(M)=+\infty }$ для всіх ${\displaystyle \rho <\rho _{0}}$ Значення ${\displaystyle M_{\rho _{0}}(M)}$ може бути нульовим, скінченним або нескінченним.

Розмірністю Гаусдорфа множини ${\displaystyle M}$ називається число ${\displaystyle \rho _{0}}$ з попереднього пункту.