Теорема Фробеніуса (диференціальна геометрія)

Нехай ${\displaystyle X}$ є векторним полем в околі точки ${\displaystyle x\in M}$ і дотичний вектор ${\displaystyle X_{x}}$ у цій точці не є рівним нулю. Тоді існує координатний окіл із координатами ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ для точки ${\displaystyle x}$ для якого ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}}$ є рівним ${\displaystyle X}$.

Нехай в околі ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle x\in M}$ задані координатні функції ${\displaystyle y_{1},...,y_{n}}$ індуковані відображенням ${\displaystyle \varphi }$ околу на відкриту кулю ${\displaystyle B(0,s)\subset \mathbb {R} ^{n}}$ із центром на початку координат і радіусом ${\displaystyle s.}$ При цьому координати завжди можна вибрати так, що ${\displaystyle y_{1}(x)=y_{2}(x)=\ldots =y_{n}(x)=0}$ і ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y_{1}}}(x)=X_{x}.}$ Векторне поле ${\displaystyle X}$ у околі ${\displaystyle U}$ є рівним ${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\frac {\partial }{\partial y_{i}}},}$ де функції ${\displaystyle a_{i}\in C^{\infty }(U).}$ За побудовою ${\displaystyle a_{1}(x)=1>0}$ і тому зменшивши при потребі ${\displaystyle U}$ можна вважати, що ${\displaystyle a_{1}>0}$ в усьому околі ${\displaystyle U.}$

Розглянемо диференціальні рівняння для інтегральних кривих для векторного поля ${\displaystyle X}$ у цих координатах. Рівняння задаються як:

${\displaystyle {\frac {\partial y_{i}}{\partial t}}=a_{i}(y_{1}(t),\ldots ,y_{n}(t)),\quad 1=1,\ldots ,n.}$

Згідно теореми Пікара — Лінделефа для кожної точки ${\displaystyle b\in {\bar {B}}(0,r)}$ — замкнутій кулі із радіусом ${\displaystyle r<s}$ існує деякий проміжок ${\displaystyle t_{-}<0<t_{+}}$ і відображення ${\displaystyle F_{b}(t)\$ :\ (t_{-},t_{+})\to \mathbb {R} ^{n}} такі, що ${\displaystyle F_{b}(0)=b}$ і координатні функції відображення ${\displaystyle F_{b}(t)}$ на проміжку ${\displaystyle t_{-}<t<t_{+}}$ є розв'язками системи диференціальних рівнянь (відповідно ${\displaystyle \varphi ^{-1}(F_{b}(t))}$ є інтегральною кривою для векторного поля ${\displaystyle X}$) із початковою умовою ${\displaystyle F_{b}(0)=b}$. Якщо вибрати для кожного ${\displaystyle b\in {\bar {B}}(0,r)}$ максимальний можливий проміжок ${\displaystyle (t_{-},t_{+}),}$ то ${\displaystyle t_{-}}$ буде напівнеперервною зверху, а ${\displaystyle t_{+}}$ — напівнеперервною знизу функціями від ${\displaystyle b.}$ Із властивостей напівнеперервних функцій ${\displaystyle t_{+}}$ досягає свого мінімуму, ${\displaystyle t_{-}}$ свого максимуму компактній множині ${\displaystyle {\bar {B}}(0,r)}$. Згідно теореми Пікара — Лінделефа ${\displaystyle 0<\min t_{+}}$ і ${\displaystyle \max t_{-}<0}$. Позначимо тепер ${\displaystyle {\bar {t}}=\min(\min t_{+},\max t_{-}).}$ Тоді, оскільки розв'язки диференціальних рівнянь неперервно залежать від початкових умов, одержується відображення ${\displaystyle F(t,x_{1},\ldots ,x_{n})\$ :\ (-{\bar {t}},{\bar {t}})\times {\bar {B}}(0,r)\to {\bar {B}}(0,s)} для якого ${\displaystyle F(0,x_{1},\ldots ,x_{n})=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\bar {B}}(0,r)}$і для кожного конкретного ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\bar {B}}(0,r)}$відображення ${\displaystyle F(t,x_{1},\ldots ,x_{n}),\ t\in (-{\bar {t}},{\bar {t}})}$ є розв'язком системи диференціальних рівнянь із відповідною початковою умовою.

Розглянемо тепер відображення ${\displaystyle G:[-{\bar {t}},{\bar {t}}]\times {\bar {B}}_{1}(0,r)\to U\subset M,}$ (де куля ${\displaystyle {\bar {B}}_{1}(0,r)\subset \mathbb {R} ^{n-1}}$ має розмірність на 1 меншу, ніж ${\displaystyle {\bar {B}}(0,r)}$), задане як ${\displaystyle G(t,x_{2},\ldots ,x_{n})=\varphi ^{-1}(F(t,0,x_{2},\ldots ,x_{n})).}$ Для фіксованих ${\displaystyle (x_{2},\ldots ,x_{n})}$ образом ${\displaystyle G(t,x_{2},\ldots ,x_{n})}$ є інтегральні криві, тобто ${\displaystyle \operatorname {d} G\left({\partial \over \partial t}\right)=X.}$ Зокрема ${\displaystyle \operatorname {d} G\left({\partial \over \partial t}\right)(0,\ldots ,0)={\partial \over \partial y_{1}}(x)=X_{x}.}$ Також для ${\displaystyle t=0}$ відображення ${\displaystyle G(0,x_{2},\ldots ,x_{n})=\varphi ^{-1}(0,x_{2},\ldots ,x_{n})}$ і тому у цих точках ${\displaystyle \operatorname {d} G\left({\partial \over \partial x_{i}}\right)={\partial \over \partial y_{i}},\ i\in 2,\ldots ,n.}$

Відповідно у точці ${\displaystyle (0,\ldots ,0)}$ диференціал ${\displaystyle \operatorname {d} G_{(0,\ldots ,0)}}$ є рівним диференціалу ${\displaystyle \operatorname {d} (\varphi ^{-1})_{(0,\ldots ,0)}}$, зокрема ${\displaystyle \operatorname {d} G_{(0,\ldots ,0)}}$ є невиродженим і з теореми про обернене відображення випливає, що в деякому околі ${\displaystyle (0,\ldots ,0)}$ відображення ${\displaystyle G}$ є дифеоморфізмом. Тоді ${\displaystyle G^{-1}}$ є координатним відображення у деякому околі ${\displaystyle V}$ точки ${\displaystyle x}$ і з побудови координатні лінії для перших координат будуть інтегральними кривими для ${\displaystyle X}$, тобто ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}=X,}$ що завершує доведення у цьому випадку.

Припустимо, що твердження є доведеним для всіх чисел менших p. Нехай ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{p}}$ є векторними полями, що в кожній точці деякого околу ${\displaystyle U_{1}}$ точки ${\displaystyle x\in M}$ утворюють базис розподілу ${\displaystyle \Delta }$. Згідно попереднього у деякому околі ${\displaystyle x\in U_{2}\subset U_{1}}$ можна підібрати координати так, щоб ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y_{1}}}=X_{1}}$ і всі координати точки ${\displaystyle x}$ були нульовими.

Розглянемо розподіл ${\displaystyle {\bar {\Delta }}}$ який у точках ${\displaystyle u\in U_{2}}$ заданий як ${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{u}=\{X_{u}\in \Delta _{u}:X_{u}y_{1}=0\}.}$ Цей розподіл є розподілом класу ${\displaystyle C^{\infty }}$ і розмірності p-1 на ${\displaystyle U_{2}}$ оскільки векторні поля ${\displaystyle Y_{i}=X_{i}-(X_{i}y_{1})X_{1},\ i\in 2,\ldots ,p}$ утворюють його базис на ${\displaystyle U_{2}}$. Також якщо ${\displaystyle Y,Z\in {\bar {\Delta }},}$ то ${\displaystyle [Y,Z]y_{1}=Y(Zy_{1})-Z(Yy_{1})=0,}$ тож ${\displaystyle {\bar {\Delta }}}$ є інволютивним.

Позначимо ${\displaystyle V_{0}}$ — шар у ${\displaystyle U_{2}}$ для якого ${\displaystyle y_{1}=0.}$ Тоді у точках ${\displaystyle v\in V_{0}}$ розподіл ${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{v}}$ є підмножиною дотичного простору ${\displaystyle (V_{0})_{v}}$ і з припущення індукції на деякому околі ${\displaystyle V_{1}\subset V_{0}}$ (що містить точку ${\displaystyle x}$) існує система координат ${\displaystyle z_{2},...,z_{n}}$ така, що ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{2}}},...,{\frac {\partial }{\partial z_{p}}}}$ утворюють базис ${\displaystyle {\bar {\Delta }}}$ на ${\displaystyle V_{1}.}$

Нехай тепер ${\displaystyle \pi :U_{2}\to V_{0}}$ є відображенням, що переводить точку із координатами ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})}$ у точку із координатами ${\displaystyle (0,y_{2},\ldots ,y_{n})}$ і ${\displaystyle U_{3}=\pi ^{-1}(V_{1}).}$ На ${\displaystyle U_{3}}$ можна ввести функції ${\displaystyle x_{1}=y_{1},x_{2}=z_{2}\circ \pi ,\ldots ,x_{n}=z_{n}\circ \pi .}$ У точці ${\displaystyle x}$ дотичний вектор ${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right)_{x}}$ є рівним дотичному вектору ${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)_{x}}$, а дотичні вектори ${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right)_{x},...,\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)_{x}}$ утворюють базис дотичного простору до ${\displaystyle V_{0}}$ у цій точці. Тому у деякому околі ${\displaystyle x\in U\subset U_{3}}$ функції ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ утворюють систему координат.

Для того щоб довести, що ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},...,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$ утворюють базис ${\displaystyle {\bar {\Delta }}}$ на ${\displaystyle U}$ достатньо довести, що їх лінійна оболонка є рівною лінійній оболонці векторних полів ${\displaystyle Y_{1}=X_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{p}}$. Для цього достатньо показати, що ${\displaystyle Y_{i}x_{j}=0,\quad i\in 1,\ldots ,p,\ j\in p+1,\ldots ,n.}$ Оскільки ${\displaystyle Y_{1}=X_{1}={\frac {\partial }{\partial y_{1}}}={\frac {\partial }{\partial x_{1}}},}$ то ${\displaystyle Y_{1}x_{j}=0,\ j>1.}$ Оскільки розподіл є інволютивним, то для ${\displaystyle i,k\in 1,\ldots ,p}$ існують диференційовні функції ${\displaystyle \Gamma _{ik}^{r}}$ для яких ${\displaystyle [Y_{i},Y_{k}]=\sum _{r=1}^{p}\Gamma _{ik}^{r}Y_{r}.}$ Тому для ${\displaystyle i\in 2,\ldots ,p}$ і ${\displaystyle j>p}$ маємо ${\displaystyle Y_{1}(Y_{i}x_{j})=[Y_{1},Y_{i}]x_{j}=\sum _{r=2}^{p}\Gamma _{1i}^{r}Y_{r}x_{j},}$ тобто ${\displaystyle Y_{i}x_{j}}$ задовольняють систему лінійних однорідних диференціальних рівнянь вздовж довільної координатної кривої ${\displaystyle x_{1}}$. Але для ${\displaystyle x_{1}=0}$ інші координати ${\displaystyle x_{i}=z_{i}}$ і згідно вибору координат ${\displaystyle z_{i}}$ на ${\displaystyle V_{0}}$ також ${\displaystyle Y_{i}x_{j}=Y_{i}z_{j}=0,\ j>p.}$ Тому початкові умови для ${\displaystyle Y_{i}x_{j}}$ є нульовими і з єдиності розв'язків системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь випливає, що ${\displaystyle Y_{i}x_{j}=0}$ всюди у ${\displaystyle U}$ для ${\displaystyle Y_{i}x_{j}=0,\quad i\in 1,\ldots ,p,\ j\in p+1,\ldots ,n,}$ тобто координатна система задовольняє умови теореми в околі ${\displaystyle U.}$