Теорема Фробеніуса (диференціальна геометрія)

Теоремою Фробеніуса у математиці називають кілька пов'язаних результатів у теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними і диференційній геометрії. В своїй загальній формі теорема є одним з основних результатів сучасної диференційної геометрії і має також застосування в диференційній топології і теорії груп Лі.

Твердження для систем диференційних рівнянь з частинними похідними

Нехай U відкрита підмножина в , V — відкрита підмножина в , і для всіх , функції належать класу (). Тоді можна розглянути систему рівнянь з частинними похідними, яку також називають «системою Пфаффа»

(*):: де Позначимо і

Система (*) називається інтегровною, якщо для кожної точки існують окіл точки , окіл точки і єдині функції для яких виконуються умови:

  1. справедлива система рівнянь (*).

Теорема Фробеніуса стверджує, що система рівнянь (*) є інтегровною на якщо в кожній точці цієї множини виконуються рівності:

Формулювання теореми в диференціальній геометрії

Нехай  гладкий многовид. p-вимірним розподілом на цьому многовиді називається відображення де образ відображення є підпростором розмірності p дотичного простору многовиду M в точці y. Розподіл належить класу якщо для кожної точки , існує окіл U точки y і векторні поля класу на U такі що є базисом простору для всіх Векторне поле X класу належить розподілу якщо для всіх Розподіл називають інволютивним, якщо для довільних векторних полів класу справедливо також

Теорема Фробеніуса стверджує, що p-вимірний розподіл є інволютивним тоді й лише тоді коли для кожної точки існує координатний окіл U точки y з координатними функціями такий, що для кожної точки вектори утворюють базис простору

Множини де у координатах визначених в теоремі очевидно будуть підмноговидами в U для яких у відповідній області визначення є дотичним розшаруванням. Кожен такий многовид називається інтегральним многовидом для

Доведення

Якщо p-вимірний розподіл у кожній точці є дотичним простором підмноговиду виду для деякої системи координат в околі точки, то очевидно цей розподіл є інволютивним адже дужка Лі двох дотичних векторів для підмноговиду теж буде дотичним вектором для підмноговиду.

Обернене твердження можна довести за індукцією. Для випадку розподіл є автоматично інволютивним адже локально у цьому випадку розподіл задається векторним полем і векторні поля, що належать одновимірному розподілу локально мають вигляд і для диференційовних функцій Тоді:

тобто і дужка Лі належить одновимірному розподілу.

Випадок p = 1

Нехай є векторним полем в околі точки і дотичний вектор у цій точці не є рівним нулю. Тоді існує координатний окіл із координатами для точки для якого є рівним .

Нехай в околі точки задані координатні функції індуковані відображенням околу на відкриту кулю із центром на початку координат і радіусом При цьому координати завжди можна вибрати так, що і Векторне поле у околі є рівним де функції За побудовою і тому зменшивши при потребі можна вважати, що в усьому околі

Розглянемо диференціальні рівняння для інтегральних кривих для векторного поля у цих координатах. Рівняння задаються як:

Згідно теореми Пікара — Лінделефа для кожної точки — замкнутій кулі із радіусом існує деякий проміжок і відображення такі, що і координатні функції відображення на проміжку є розв'язками системи диференціальних рівнянь (відповідно є інтегральною кривою для векторного поля ) із початковою умовою . Якщо вибрати для кожного максимальний можливий проміжок то буде напівнеперервною зверху, а напівнеперервною знизу функціями від Із властивостей напівнеперервних функцій досягає свого мінімуму, свого максимуму компактній множині . Згідно теореми Пікара — Лінделефа і . Позначимо тепер Тоді, оскільки розв'язки диференціальних рівнянь неперервно залежать від початкових умов, одержується відображення для якого і для кожного конкретного відображення є розв'язком системи диференціальних рівнянь із відповідною початковою умовою.

Розглянемо тепер відображення (де куля має розмірність на 1 меншу, ніж ), задане як Для фіксованих образом є інтегральні криві, тобто Зокрема Також для відображення і тому у цих точках

Відповідно у точці диференціал є рівним диференціалу , зокрема є невиродженим і з теореми про обернене відображення випливає, що в деякому околі відображення є дифеоморфізмом. Тоді є координатним відображення у деякому околі точки і з побудови координатні лінії для перших координат будуть інтегральними кривими для , тобто що завершує доведення у цьому випадку.

Крок індукції

Припустимо, що твердження є доведеним для всіх чисел менших p. Нехай є векторними полями, що в кожній точці деякого околу точки утворюють базис розподілу . Згідно попереднього у деякому околі можна підібрати координати так, щоб і всі координати точки були нульовими.

Розглянемо розподіл який у точках заданий як Цей розподіл є розподілом класу і розмірності p-1 на оскільки векторні поля утворюють його базис на . Також якщо то тож є інволютивним.

Позначимо — шар у для якого Тоді у точках розподіл є підмножиною дотичного простору і з припущення індукції на деякому околі (що містить точку ) існує система координат така, що утворюють базис на

Нехай тепер є відображенням, що переводить точку із координатами у точку із координатами і На можна ввести функції У точці дотичний вектор є рівним дотичному вектору , а дотичні вектори утворюють базис дотичного простору до у цій точці. Тому у деякому околі функції утворюють систему координат.

Для того щоб довести, що утворюють базис на достатньо довести, що їх лінійна оболонка є рівною лінійній оболонці векторних полів . Для цього достатньо показати, що Оскільки то Оскільки розподіл є інволютивним, то для існують диференційовні функції для яких Тому для і маємо тобто задовольняють систему лінійних однорідних диференціальних рівнянь вздовж довільної координатної кривої . Але для інші координати і згідно вибору координат на також Тому початкові умови для є нульовими і з єдиності розв'язків системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь випливає, що всюди у для тобто координатна система задовольняє умови теореми в околі

Див. також

Джерела

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.