Тесеракт

Звичайний тесеракт в Евклідовому чотиривимірному просторі визначається як опукла оболонка точок (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). Інакше кажучи, він може бути представлений у наступному вигляді:

${\displaystyle [-1,1]^{4}\equiv \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\,:\,-1\leq x_{i}\leq 1\}.}$

Тессеракт обмежений вісьмома гіперплощинами ${\displaystyle x_{i}=\pm 1,\;i=1,2,3,4}$, перетин яких із самим тесерактом задає його тривимірні грані (є звичайними кубами). Кожна пара непаралельних тривимірних граней перетинається, утворюючи двовимірні межі (квадрати), і так далі. Остаточно, тесеракт володіє 8 тривимірними гранями, 24 двовимірними, 32 ребрами і 16 вершинами.

Чотиривимірний гіпероб'єм тесеракта зі стороною завдовжки a розраховується за формулою:
${\displaystyle V_{3}({\text{hypersurface}})=8a^{3}}$

Радіус описаної гіперсфери:
${\displaystyle R=a}$

Радіус вписаної гіперсфери:
${\displaystyle r={\frac {a}{2}}}$

Аналогічно тому, як поверхню куба можна розгорнути у двомірний многокутник, що складається з шести квадратів, поверхню тесеракта можна розгорнути у трьохмірне тіло, що складається з восьми кубів.

Розгортання поверхні тесеракта у тривимірний простір

Існує 261 розгортка тесеракта. Розгортки гіперкубу можуть бути знайдені перерахуванням «здвоєних дерев», де «здвоєне дерево»(paired tree) —це дерево з парним числом вершин, які розбиті на пари так, що жодна пара не складається з двох суміжних вершин. Між «здвоєними деревами» з 8 вершинами і розгортками тесеракт існує взаємно однозначна відповідність. Всього існує 23 дерева з 8 вершинами, при розбитті вершин яких на пари несуміжних вершин виходить 261 «здвоєне дерево» з 8 вершинами.

У розповіді Роберта Гайнлайна «Дім, який побудував Тіл» каліфорнійський архітектор Квінтус Тіл будує дім у формі розгортки гіперкубу, який під час землетрусу складається в чотиривимірний тесеракт.

Спробуємо уявити собі, як буде виглядати гіперкуб, не виходячи з тривимірного простору.

В одновимірному «просторі» — на лінії — виділимо відрізок АВ довжиною L. На двовимірній площині на відстані L від АВ намалюємо паралельний йому відрізок DC і з'єднаємо їх кінці. Вийде квадрат CDBA. Повторивши цю операцію з площиною, отримаємо тривимірний куб CDBAGHFE. А зсунувши куб в четвертому вимірі (перпендикулярно першим трьом) на відстань L, ми отримаємо гіперкуб CDBAGHFEKLJIOPNM.

Побудова тесеракта на площині

Розгортка тесеракта

Одновимірний відрізок АВ служить стороною двовимірного квадрата CDBA, квадрат — стороною куба CDBAGHFE, який, в свою чергу, буде стороною чотиривимірного гіперкуба. Відрізок прямої має дві граничні точки, квадрат — чотири вершини, куб — вісім. В чотиривимірному гіперкубі, таким чином, виявиться 16 вершин: 8 вершин вихідного куба і 8 зрушеного в четвертому вимірі. Він має 32 ребра — по 12 дають початкове і кінцеве положення вихідного куба, і ще 8 ребер «намалюють» вісім його вершин, що перемістилися в четвертий вимір. Ті ж міркування можна виконати і для граней гіперкуба. У двовимірному просторі вона одна (сам квадрат), у куба їх 6 (по дві грані від переміщення квадрата і ще чотири опишуть його збоку). Чотиривимірний гіперкуб має 24 квадратні грані — 12 квадратів вихідного куба в двох положеннях і 12 квадратів від дванадцяти його ребер.

Як сторонами квадрата є 4 одновимірних відрізки, а сторонами (гранями) куба є 6 двомірних квадратів, так і для «чотиривимірного куба» сторонами є 8 тривимірних кубів. Простору протилежних пар кубів тесеракт (тобто тривимірні простори, яким ці куби належать) паралельні. На малюнку це куби: CDBAGHFE і KLJIOPNM, CDBAKLJI і GHFEOPNM, EFBAMNJI і GHDCOPLK, CKIAGOME і DLJBHPNF.

Аналогічним чином можна продовжити міркування для гіперкубів більшого числа вимірів, але набагато цікавіше подивитися, як для нас, жителів тривимірного простору, буде виглядати чотиривимірний гіперкуб. Скористаємося для цього вже знайомим шляхом аналогій.

Візьмемо дротяний куб ABCDHEFG і подивимося на нього одним оком з боку межі. Ми побачимо і можемо намалювати на площині два квадрата (ближню і дальню його межі), з'єднані чотирма лініями — бічними ребрами. Аналогічним чином чотиривимірний гіперкуб у просторі трьох вимірів буде виглядати як два кубічних «ящики», вставлених один в одного і з'єднаних вісьмома ребрами. При цьому самі «ящики» — тривимірні грані — будуть проєктуватися на «наш» простір, а лінії, які їх з'єднують, простягнуться в напрямку четвертої осі. Можна спробувати також уявити собі куб не в проєкції, а в просторовому зображенні.

Подібно до того, як тривимірний куб утворюється квадратом, зсунутим на довжину грані, куб, зрушений у четвертий вимір, сформує гіперкуб. Його обмежують вісім кубів, які в перспективі будуть виглядати як якась досить складна фігура. Сам же чотиривимірний гіперкуб складається з нескінченної кількості кубів, подібно до того як тривимірний куб можна «нарізати» на нескінченну кількість плоских квадратів.

Розрізавши шість граней тривимірного куба, можна розкласти його в плоску фігуру — розгортку. Вона буде мати по квадрату з кожного боку вихідної межі плюс ще один — грань, їй протилежну. А тривимірна розгортка чотиривимірного гіперкубу буде складатися з вихідного куба, шести кубів, «що виростають» із нього, плюс ще одного — кінцевої «гіперграні».

Властивості тесеракта представляють собою продовження властивостей геометричних фігур меншої розмірності в чотиривимірний простір.

• Гексадекахорон (Hexadecachoron)
• Октохорон (Octachoron) (від грец. οκτώ —"вісім", а грец. χώρος —"місце/простір")
• Тетракуб (Tetracub)
• 4-Куб (4-Cube)
• Гіперкуб (про будь-який аналог куба з більш ніж трьома розмірностями)

• Іспанський художник Сальвадор Далі зобразив розгортку тесеракта на своїй картині Розп'яття або Гіперкубічне тіло.
• TesseracT — назва британського гурту, що грає у стилі прогресивного металу.
• З'являється у фільмі Крістофера Нолана «Інтерстеллар» як частина «кротовини» (місту Розена-Ейштейна).

• Пентеракт

• Людина, яка «бачила» четвертий вимір // Гіперпростір / Мічіо Кайку ; Пер. з англійської Анжела Кам’янець / Наук. ред. Іван Вакарчук. — Львів : Літопис, 2019. — С. 75-100.
• Charles H. Hinton. Fourth Dimension, 1904. ISBN 0-405-07953-2
• Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics, 1995. ISBN 0-486-28424-7
• Tesseract

1. Home : Oxford English Dictionary. Oed.com. Процитовано 21 січня 2018.