Істотний супремум та істотний інфімум

Нехай ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ буде дійснозначна функція визначена на множині X. Дійсне число a зветься верхньою межею для ${\displaystyle f}$ якщо ${\displaystyle f(x)\leq a\forall x\in X,}$ тобто, якщо множина

${\displaystyle f^{-1}(a,\infty )=\{x\in X:f(x)>a\}}$

є порожньою. Нехай

${\displaystyle U_{f}=\{a\in \mathbb {R} :f^{-1}(a,\infty )=\emptyset \}\,}$

буде множина верхніх меж ${\displaystyle f.}$ Тоді супремум ${\displaystyle f}$ визначено через

${\displaystyle \sup f=\inf U_{f}\,}$

якщо множина верхніх меж ${\displaystyle U_{f}}$ непорожня і ${\displaystyle \sup f=+\infty }$ інакше.

До того ж припустимо, що ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ — вимірний простір і, для простоти, припустимо, що функція ${\displaystyle f}$ є вимірною. Число ${\displaystyle a}$ називають істотною верхньою межею для ${\displaystyle f}$ якщо вимірна множина ${\displaystyle f^{-1}(a,\infty )}$ є множиною міри нуль,[lower-alpha 1] тобто, якщо ${\displaystyle f(x)\leq a}$ для майже всіх ${\displaystyle x\in X.}$ Нехай

${\displaystyle U_{f}^{\mathrm {ess} }=\{a\in \mathbb {R} :\mu (f^{-1}(a,\infty ))=0\}\,}$

буде множиною істотних верхніх меж. Тоді істотний супремум визначають як

${\displaystyle \mathrm {ess} \sup f=\inf U_{f}^{\mathrm {ess} }\,}$

якщо ${\displaystyle U_{f}^{\mathrm {ess} }\neq \emptyset }$, і ${\displaystyle \mathrm {ess} \sup f=+\infty }$ інакше.

Так само визначають істотний інфімум як супремум істотних нижніх меж, що є,

${\displaystyle \mathrm {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}\,}$

якщо множина істотних нижніх меж непорожня, і як ${\displaystyle -\infty }$ інакше.

Розглянемо на дійсній осі міру Лебега і відповідну їй σ-алгебру ${\displaystyle \Sigma .}$ Визначимо функцію ${\displaystyle f}$ через формулу

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}5,&{\text{if }}x=1\\-4,&{\text{if }}x=-1\\2,&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}}$

Супремумом функції є 5, а інфімумом −4. Однак, функція набуває цих значень лише на множинах {1} і {−1} відповідно, обидві міри нуль. which are of measure zero. В інших точках функцію приймає значення 2. Отже істотний супремум і інфімум для цієї функції 2.

Як ще один приклад розглянемо

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{3},&{\text{if }}x\in \mathbb {Q} \\\arctan {x},&{\text{if }}x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \\\end{cases}}.}$

З точки зору міри Лебега, раціональні числа мають міру нуль, тому тут істотний супремум це ${\displaystyle \pi /2,}$ а істотний інфімум це ${\displaystyle -\pi /2.}$

Подивимось на функцію ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ визначену на всіх дійсних ${\displaystyle x.}$ Її істотним супремумом є ${\displaystyle +\infty }$ і її істотний інфімум це ${\displaystyle -\infty .}$

• Якщо ${\displaystyle \mu (X)>0}$ маємо ${\displaystyle \inf f\leq \mathrm {ess} \inf f\leq \mathrm {ess} \sup f\leq \sup f}$. Якщо ${\displaystyle X}$ міри нуль ${\displaystyle \mathrm {ess} \sup f=-\infty }$ і ${\displaystyle \mathrm {ess} \inf f=+\infty }$.[1]
• ${\displaystyle \mathrm {ess} \sup(fg)\leq (\mathrm {ess} \sup f)(\mathrm {ess} \sup g)}$ коли обидва множники праворуч невід'ємні.

• Істотний супремум на PlanetMath.(англ.)