Верхня та нижня межа

Мажоранта чи верхня межа множини ${\displaystyle ~X}$ — число ${\displaystyle ~a}$, таке що ${\displaystyle \forall x\in X\Rightarrow x\leqslant a}$.

Міноранта чи нижня межа множини ${\displaystyle ~X}$ — число ${\displaystyle ~b}$, таке що ${\displaystyle \forall x\in X\Rightarrow x\geqslant b}$.

Точною верхньою гранню, чи супремумом (лат. supremum — найвищий) підмножини ${\displaystyle X}$ упорядкованої множини ${\displaystyle M}$, називається найменший елемент ${\displaystyle M}$, котрий дорівнює чи більший за всі елементи множини ${\displaystyle X}$. Іншими словами, супремум — це найменша з усіх верхніх граней. Позначається ${\displaystyle \sup X}$.

Більш формально:

${\displaystyle S_{X}=\{y\in M\mid \forall x\in X\!:x\leqslant y\}\!}$ — множина верхніх граней ${\displaystyle X}$, тобто елементів ${\displaystyle M}$, рівних чи більших за всі елементи ${\displaystyle X}$

${\displaystyle s=\sup(X)\iff s\in S_{X}\land \forall y\in S_{X}\!:s\leqslant y.}$

Точною нижньою гранею, чи інфімумом (лат. infimum — найнижчий) підмножини ${\displaystyle X}$ впорядкованої множини ${\displaystyle M}$, називається найбільший елемент ${\displaystyle M}$, котрий дорівнює чи менший за всі елементи множини ${\displaystyle X}$. Іншими словами, інфімум — це найбільша з усіх нижніх граней. Позначається ${\displaystyle \inf X}$.

• На множині всіх раціональних чисел, більших п'яти, не існує мінімуму, проте існує інфінум. ${\displaystyle \inf }$ такої множини дорівнює п'яти. Інфінум не є мінімумом, так як п'ять не належить цій множині. Якщо ж визначити множину всіх натуральних чисел, більших п'яти, то у такої множини є мінімум і він дорівнює шести. Взагалі кажучи, у будь-якої непорожньої підмножини множини натуральних чисел існує мінімум.
• Для множини ${\displaystyle S=\left\{{\frac {1}{k}}\mid k\in \mathbb {N} \right\}=\left\{1,\;{\frac {1}{2}},\;{\frac {1}{3}},\;\ldots \right\}}$

${\displaystyle \sup S=1}$; ${\displaystyle \inf S=0}$.

• Множина додатних раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{+}=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\}}$ не має точної верхньої грані в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, точна нижня грань ${\displaystyle \inf \mathbb {Q} _{+}=0}$.
• Множина ${\displaystyle X=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}}$ раціональних чисел, квадрат котрих менше двох, не має точної верхньої та нижньої грані в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, але якщо його розглядати як підмножину множини дійсних чисел, то

${\displaystyle \sup X={\sqrt {2}}}$ та ${\displaystyle \inf X=-{\sqrt {2}}}$.

Формулювання: Непорожня множина, обмежена зверху, має верхню грань; обмежена знизу - нижню грань. Тобто існує ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$ такі, що

${\displaystyle b=\sup X{\begin{cases}\forall x\in X\Rightarrow x\leqslant b\\\forall b^{'},b^{'}<b\Rightarrow \exists x\in X\land x>b^{'}\end{cases}}(1.1)}$

${\displaystyle a=\inf X{\begin{cases}\forall x\in X\Rightarrow x\geqslant a\\\forall a^{'},a^{'}>a\Rightarrow \exists x\in X\land x<a^{'}\end{cases}}(1.2)}$

• З теореми про грані, для будь-якої обмеженої зверху підмножини ${\displaystyle \mathbb {R} }$, існує ${\displaystyle \sup }$.
• З теореми про грані, для будь-якої обмеженої знизу підмножини ${\displaystyle \mathbb {R} }$, існує ${\displaystyle \inf }$.
• Дійсне число ${\displaystyle s}$ є ${\displaystyle \sup X}$ тоді й тільки тоді, коли:
  1. ${\displaystyle s}$ є верхня грань ${\displaystyle X}$ тобто для всіх елементів ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle x\leqslant s}$;
  2. Для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ знайдеться ${\displaystyle x\in X}$, такий, що ${\displaystyle x+\varepsilon >s}$.(тобто до ${\displaystyle s}$ можна скільки завгодно «близько підібратися» з множини ${\displaystyle X}$)
• Аналогічне твердження вірне для точної нижньої грані.

• Найбільший та найменший елемент
• Максимальні та мінімальні елементи

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)