Декартів добуток множин

Декартів квадрат (бінарний декартів добуток) множини X — декартів добуток X² = X×X.

Декартовим квадратом множини дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ є двовимірний простір (площина) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ — множина усіх точок з координатами (x,y), де x та y — дійсні числа (див. Декартова система координат).

Узагальнюючи декартів добуток на випадок n множин X₁, X₂, ..., X_n, отримують n-арний декартів (прямий) добуток множин:

${\displaystyle X_{1}\times X_{2}\times \cdots \times X_{n}=\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})|x_{1}\in X_{1}\land x_{2}\in X_{2}\land \cdots \land x_{n}\in X_{n}\}.}$

Результатом є множина впорядкованих n-місних кортежів (n-ок, векторів, впорядкованих наборів). Тут i-й член n-ки називається i-ю координатою або i-ю компонентою

n-арний декартів добуток однієї множини X × ... × X позначають також як Xⁿ і називають декартовим (прямим) степенем множини X.

Операція декартового добутку не є асоціативною та комутативною, тобто (A×B)×C≠A×(B×C), A×B≠B×A.

Справедлива така тотожність відносно операції перетину (для об'єднання не справедлива):

${\displaystyle (A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D).}$

Дистрибутивність буде виконуватись для таких операцій:

${\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C),}$

${\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C),}$

${\displaystyle A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C),}$

${\displaystyle {\overline {(A\times B)}}=({\overline {A}}\times {\overline {B}})\cup ({\overline {A}}\times B)\cup (A\times {\overline {B}}).}$

Для підмножин будуть правильні твердження:

• Якщо ${\displaystyle A\subseteq B}$, то ${\displaystyle A\times C\subseteq B\times C,}$
• Якщо ${\displaystyle A,B\neq \emptyset }$, то ${\displaystyle A\times B\subseteq C\times D\iff A\subseteq C\land B\subseteq D.}$

Проєкцією кортежу A=(x₁, x₂, ... , x_n) на i-у вісь (або i-ою проєкцією) називається i-а координата x_i кортежу A, позначається Pr_i(A) = x_i. Проєкцією кортежу A=(x₁, x₂, ... , x_n) на осі з номерами i₁, i₂,..., i_k називається кортеж (x_i1, x_i2, ..., x_ik), позначається Pr_i1,i2,...,ik(A).

Приклад: Якщо V={(a,b,c),(a,c,d),(a,b,d)}, то Pr₁V={a}, Pr₂V={b,c}, Pr_{2, 3}V={(b,c),(c,d), (b,d)}.

• Залишково скінченна група
• Добуток графів
• Декартів добуток графів

• Кантор Г. Труды по теории множеств. — Москва : Наука, 1985..