Бімодуль

Нехай ${\displaystyle R}$ і ${\displaystyle S}$ — два кільця, тоді ${\displaystyle (R,S)}$-бімодулем називається абелева група ${\displaystyle M}$, що задовольняє умови:

1. ${\displaystyle M}$ є лівим ${\displaystyle R}$-модулем і правим ${\displaystyle S}$-модулем.
2. Для будь-яких ${\displaystyle r\in R,s\in S,m\in M\colon }$

${\displaystyle (rm)s=r(ms).}$

${\displaystyle (R,R)}$-бімодуль називають також ${\displaystyle R}$-бімодулем.

• Для будь-яких натуральних чисел ${\displaystyle m}$ і ${\displaystyle n}$ множина всіх матриць розміру ${\displaystyle n\times m}$ з дійсними елементами є ${\displaystyle (R,S)}$-бімодулем, де ${\displaystyle R}$ — кільце матриць розміру ${\displaystyle n\times n}$ і ${\displaystyle S}$ — кільце матриць розміру ${\displaystyle m\times m}$. Додавання і множення визначаються як додавання і множення матриць, розміри матриць обрані таким чином, щоб ці операції були визначені.
• Якщо ${\displaystyle R}$ — кільце, не обов'язково комутативне, то ${\displaystyle R}$ є ${\displaystyle R}$-бімодулем. Також ${\displaystyle R}$-бімодулем є ${\displaystyle R^{n}}$ — прямий добуток ${\displaystyle n}$ копій ${\displaystyle R}$.
• Будь-який двосторонній ідеал в кільці ${\displaystyle R}$ є ${\displaystyle R}$-бімодулем.
• Будь-який модуль над комутативним кільцем ${\displaystyle R}$ можна наділити природною структурою бімодуля, визначивши множення справа так само, як множення зліва. (Не всі бімодулі над комутативним кільцем мають такий вигляд).
• Якщо ${\displaystyle M}$ — лівий ${\displaystyle R}$-модуль, то ${\displaystyle M}$ є ${\displaystyle (R,\mathbb {Z} )}$-бімодулем, де ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — кільце цілих чисел. Аналогічним чином, праві ${\displaystyle R}$-модулі можна розглядати як ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,R)}$-бімодулі, а абелеві групи — як ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )}$-бімодулі.
• Якщо ${\displaystyle R}$ — підкільце кільця ${\displaystyle S}$, то ${\displaystyle S}$ є ${\displaystyle R}$-бімодулем.

Якщо ${\displaystyle M}$ і ${\displaystyle N}$ — ${\displaystyle (R,S)}$-бімодулі, відображення ${\displaystyle f\colon M\to N}$ називається гомоморфізмом бімодулів тоді і тільки тоді, коли воно є гомоморфізмом структур лівого і правого модулів.

${\displaystyle (R,S)}$-бімодуль, насправді, те ж саме, що лівий модуль над кільцем ${\displaystyle R\otimes _{\mathbb {Z} }S^{op}}$, де ${\displaystyle S^{op}}$ — протилежне кільце до ${\displaystyle S}$ (порядок множення в ньому обертається). Гомоморфізми бімодулів — те ж саме, що гомоморфізм лівих ${\displaystyle R\otimes _{\mathbb {Z} }S^{op}}$-модулів. Використовуючи ці факти, багато тверджень про модулях можна перевести на мову бімодулів. Зокрема, категорія ${\displaystyle (R,S)}$-бімодулів є абелевою і для неї виконуються звичайні теореми про ізоморфізм.

Однак у бімодулів є і особливі властивості, зокрема, в тому, що стосується тензорного добутку. Якщо ${\displaystyle M}$ — ${\displaystyle (R,S)}$-бімодуль і ${\displaystyle N}$ — (S, T)-бімодуль, то їх тензорний добуток (як модулів над ${\displaystyle S}$) є ${\displaystyle (R,T)}$-бімодулем. Тензорний добуток бімодулів є асоціативним (з точністю до канонічного ізоморфізму), тому можна побудувати категорію, об'єкти якої — кільця, а морфізми — бімодулі. Більш того, якщо ${\displaystyle M}$ є ${\displaystyle (R,S)}$-бімодулем і ${\displaystyle L}$ є ${\displaystyle (T,S)}$-бімодулем, то множина ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{S}(M,L)}$ гомоморфізмів з ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle L}$ має структуру ${\displaystyle (T,R)}$-бімодуля. Ці твердження можна поширити на похідні функтори Ext і Tor.

• Модуль над кільцем

• P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-82184-781-3. P. 517—518.
• Jacobson, N. (1989). Basic Algebra II. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1933-9. P. 133—136.
• D. G. Northcott (198). A First Course of Homological Algebra. Cambridge University Press. ISBN 9780521299763.