Властивість Бера

У топології властивістю Бера називається властивість підмножини топологічного простору, що багато в чому є подібною до властивості вимірності множини. Множина A задовольняє властивість Бера, якщо вона задовольняє еквівалентні умови:

• Існує відкрита множина G для якої різниці ${\displaystyle G\setminus A}$ і ${\displaystyle A\setminus G}$ є множинами першої категорії.
• Існує замкнута множина G для якої різниці ${\displaystyle G\setminus A}$ і ${\displaystyle A\setminus G}$ є множинами першої категорії.
• Множина A є об'єднанням множини типу G_δ і множини першої категорії.
• Існує множина першої категорії B для якої ${\displaystyle A\cup B}$ є множиною типу F_σ.

Доповнення множини із властивістю Бера є множиною із властивістю Бера, зліченне об'єднання і зліченний перетин множин із властивістю Бера є множинами із властивістю Бера. Таким чином підмножини із властивістю Бера утворюють σ-алгебру. Вона є найменшою σ-алгеброю, що містить відкриті підмножини і підмножини першої категорії.

Прикладами множин із властивістю Бера є:

• підмножини Бореля;
• вимірні підмножини;
• аналітичні підмножини польських просторів.

Приклади множин, що не задовольняють умову Бера:

• множина Віталі;
• множина Бернштейна.