Польський простір

Польський простір — топологічний простір, гомеоморфний повному метричному простору із зліченною щільною підмножиною.

Приклади

Дійсна пряма і будь-яка її відкрита або замкнута підмножина
Довільний евклідів простір $\mathbb {R} ^{n}$
Сепарабельні банахові простори
Довільний компактний метризовний простір є польським простором. Зокрема це стосується компактного гаусдорфового простору зі зліченною базою
Множина Кантора
Куб Гільберта $I^{\mathbb {N} },$ де $I$ позначає одиничний інтервал
Простір $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ (простір послідовностей натуральних чисел із топологією добутку)
Простір ірраціональних чисел із індукованою топологією дійсної прямої є польським простором, оскільки ірраціональні числа є G_δ-підмножиною дійсних чисел. Натомість з теореми Бера про категорії випливає, що простір раціональних чисел не є польським простором
Простір Урисона

Властивості

Замкнуті відкриті підмножини польського простору є польськими просторами.

Оскільки польський простір є сепарабельним і на ньому можна ввести метрику, то і будь-який його підпростір із індукованою топологією є сепарабельним. Дійсно сепарабельний метричний простір задовольняє другу аксіому зліченності (множина куль у цій метриці із центрами у зліченній щільній підмножині і раціональними радіусами утворює зліченну базу топології). Тоді перетини елементів зліченної бази із підпростором утворює зліченну базу підпростору. Обравши точку в кожному елементі зліченної бази отримуємо зліченну щільну підмножину.

Залишається довести, що на відкритих і замкнутих підмножинах польського простору можна ввести повну метрику. Якщо розглянути деяку повну метрику на польському просторі, то її обмеження на замкнуту підмножину буде повною метрикою. Тому ця множина є польським простором.

Для відкритої підмножини U топологічного простору X позначимо

U^{c}

доповнення цієї множини і для точки

x\in U

також позначимо

{\displaystyle d(x,U^{c})=\inf\{d(x,z)\

Можна ввести метрику на U:

d_{0}(x,y)=d(x,y)+\left|{\frac {1}{d(x,U^{c})}}-{\frac {1}{d(y,U^{c})}}\right|

Ця метрика породжує топологію на U індуковану від X. Дійсно згідно нерівності трикутника

|d(x,U^{c})-d(y,U^{c})|\leqslant d(x,y)

і тому функція

x\to d(x,U^{c})

є неперервною. Тому послідовність

\{x_{n}\}

збігається до x у метриці d тоді і тільки тоді, коли вона збігається до x у метриці

d_{0}.

Тому метрика

d_{0}

породжує індуковану топологію на U.

Для доведення повноти метрики, нехай

\{x_{n}\}

є фундаментальною послідовністю для

d_{0}.

Тоді вона також є фундаментальною для d і тому збігається до точки

x\in X.

Точка x належить U в іншому випадку було б

\lim _{n}d(x_{n},U^{c})=0

і звідси

\limsup _{n,m}d_{0}(x_{n},x_{m})=\infty ,

що суперечить фундаментальності

\{x_{n}\}

для

d_{0}.

Як наслідок

\{x_{n}\}

збігається до x у метриці

d_{0},

що завершує доведення повноти цієї метрики.

Диз'юнктне об'єднання скінченної чи зліченної кількості польських просторів є польським простором.

Нехай

X_{n}

позначають відповідні польські простори,

D_{n}

— їх щільні зліченні підмножини, а

d_{n}

— деякі повні метрики на просторах. Можна припустити, що для всіх цих метрик

d_{n}(x,y)\leqslant 1

(в іншому випадку можна розглянути повні метрики

\min(d_{n}(x,y),1),

що породжують ті ж топології). Диз'юнктне об'єднання

D_{n}

є зліченною множиною, що є цільною у диз'юнктному об'єднанні польських просторів. Метрика

d

задана як

d(x,y)=d_{n}(x,y),

якщо

x,y

належать одному

X_{n}

і

d(x,y)=1

в іншому випадку, є повною метрикою на диз'юнктному об'єднанні

X_{n}

, що завершує доведення

Будь-яка G-дельта-підмножина польського простору є польським простором.
Нехай $Y=\cap _{n}U_{n},$ де $U_{n}$ є відкритими підмножинами польського простору $X.$ Тоді всі $U_{n}$ і їх добуток $\prod _{n}U_{n}$ є польськими просторами. Перетин діагоналі $\Delta \subset \prod _{n}X$ із підпростором $\prod _{n}U_{n}$ є замкнутою підмножиною у $\prod _{n}U_{n}$ , а тому польським простором. До того ж $\Delta \cap \prod _{n}U_{n}$ є гомеоморфним $Y$ через відображення, що зіставляє елементу $y\in Y$ послідовність у $\prod _{n}U_{n}$ всі члени якої є рівними $y.$
Навпаки, якщо підмножина польського простору є польським простором, то вона є G-дельта-множиною.
Топологічний простір є польським простором тоді і тільки тоді коли він є гомеоморфним G-дельта-підмножині кубу Гільберта $I^{\mathbb {N} }$
Прямий добуток зліченної кількості польських просторів є польським простором.

Нехай

X_{n}

позначають відповідні польські простори, а

d_{n}

— деякі повні метрики на просторах для яких

d_{n}(x,y)\leqslant 1.

Якщо

x,y\in \prod _{n}X_{n}

— точки добутку просторів із координатами

x_{1},x_{2},\ldots

і

y_{1},y_{2},\ldots

відповідно, то

d(x,y)=\sum _{n}{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x,y)

є метрикою, що породжує топологію добутку і добуток просторів є повним метричним простором із цією метрикою.

Для доведення сепарабельності спершу слід зазначити, що як і вище всі

X_{n}

задовольняють другу аксіому зліченності і тому можна обрати зліченну бази топології

{\mathcal {U}}_{n}

для всіх

X_{n}.

Тоді множини виду

U_{1}\times \ldots \times U_{N}\times X_{N+1}\times X_{N+2}\times \ldots ,

де N є натуральним числом і всі

U_{n}\in {\mathcal {U}}_{n},

утворюють базу добутку. Тобто добуток топологій задовольняє другу аксіому зліченності і тому є сепарабельним простором.

Довільна скінченна борелівська міра на польському просторі є регулярною.
Між будь-якими двома незліченними польськими просторами існує борелівська бієкція, тобто бієкція, яка переводить борелівські множини в борелівські. Зокрема, кожен незліченний польський простір має потужність континууму.
Теорема Кантора — Бендіксона: будь-яка замкнута підмножина в польському просторі є диз'юнктним об'єднанням досконалої підмножини, зліченної і відкритої підмножин.

Література

D. J. H. Garling (2018). Analysis on Polish Spaces and an Introduction to Optimal Transportation. London Mathematical Society Student Texts 89. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-42157-7.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.