Внутрішня похідна

Внутрішня похідна для векторного поля X на многовиді M є оператором

${\displaystyle \iota _{X}\colon \Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)}$

для якого образом диференціальної p-форми ω є (p−1)-форма ι_Xω для якої

${\displaystyle (\iota _{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{p-1})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{p-1})}$

для всіх векторних полів X₁, ..., X_p−1.

Хоча внутрішня похідна переважно застосовується для диференціальних форм, аналогічне означення також можна дати для коваріантних і змішаних тензорів.

• Внутрішня похідна є єдиним диференціюванням порядку −1 на зовнішній алгебрі для якого для всіх 1-форм α

${\displaystyle \displaystyle \iota _{X}\alpha =\alpha (X).}$

• Антисиметричність. Для довільної диференціальної форми ω (для інших типів тензорів властивість у загальному випадку невірна):

${\displaystyle \iota _{X}\iota _{Y}\omega =-\iota _{Y}\circ \iota _{X}\omega }$

Для p-форми ω за означенням

${\displaystyle \iota _{X}\circ \iota _{Y}\omega (X_{1},\ldots ,X_{p-2})=\omega (X,Y,\ldots ,X_{p-2})=-\omega (Y,X,\ldots ,X_{p-2})=-\iota _{Y}\circ \iota _{X}\omega (X_{1},\ldots ,X_{p-2}).}$

• На множині диференціальних форм ${\displaystyle \iota _{X}\circ \iota _{X}=0}$ подібно до того як для зовнішньої похідної d ∘ d = 0.

Для p-форми ω за означенням

${\displaystyle \iota _{X}\circ \iota _{X}\omega (X_{1},\ldots ,X_{p-2})=\omega (X,X,\ldots ,X_{p-2})=0.}$

• Із лінійності тензорів випливає, що для довільних векторних полів X і Y і диференційовної функції f на многовиді:

${\displaystyle \iota _{X+Y}=\iota _{X}+\iota _{Y}}$ і ${\displaystyle \iota _{fX}=f\iota _{X}.}$

• Якщо β є p-формою, а γ — довільною диференціальною формою, то

${\displaystyle \iota _{X}(\beta \wedge \gamma )=(\iota _{X}\beta )\wedge \gamma +(-1)^{p}\beta \wedge (\iota _{X}\gamma ).}$

Тобто внутрішня похідна задовольняє градуйоване правило Лейбніца.

Нехай ${\displaystyle \gamma }$ є диференціальною q-формою. Тоді ${\displaystyle \beta \wedge \gamma }$ буде (p+q)-формою, а ${\displaystyle \iota _{X}(\beta \wedge \gamma )}$ — (p+q-1)-формою. Нехай X₂, ..., X_{p + q} є довільними векторними полями і позначатимемо також X = X₁.

Тоді ${\displaystyle \iota _{X}(\beta \wedge \gamma )(X_{2},\ldots ,X_{p+q})=(\beta \wedge \gamma )(X_{1},\ldots ,X_{p+q}).}$

За означенням зовнішнього добутку можна записати:

${\displaystyle (\beta \wedge \gamma )(X_{1},\ldots ,X_{p+q})=\sum _{\sigma }\varepsilon (\sigma )\cdot \beta (X_{\sigma (1)},\dots ,X_{\sigma (p)})\cdot \gamma (X_{\sigma (p+1)},\dots ,X_{\sigma (p+q)})}$,

де ${\displaystyle \sigma }$ пробігає множину таких перестановок, що ${\displaystyle \sigma (1)<\sigma (2)<\ldots <\sigma (p)}$ і ${\displaystyle \sigma (p+1)<\sigma (p+2)<\ldots <\sigma (p+q),}$ а ${\displaystyle \varepsilon (\sigma )}$ позначає знак перестановки.

Зрозуміло, що для кожної такої ${\displaystyle \sigma }$ або ${\displaystyle \sigma (1)=1}$ або ${\displaystyle \sigma (p+1)=1}$ і загальна сума є рівною сумі для перестановок першого типу і перестановок другого типу. Позначимо ці типи перестановок ${\displaystyle A_{1}}$ і ${\displaystyle A_{2}.}$ Якщо для кожної ${\displaystyle \sigma }$ позначити як ${\displaystyle \sigma '}$ відповідну перестановку чисел 2, ..., p + q одержану вилученням числа 1, то тоді також ${\displaystyle \sigma '(1)<\sigma '(2)<\ldots <\sigma '(p-1)}$ і ${\displaystyle \sigma '(p)<\sigma '(p+1)<\ldots <\sigma '(p+q-1)}$ і для типу ${\displaystyle A_{1}}$ знаки перестанок ${\displaystyle \sigma '}$ і ${\displaystyle \sigma }$ є однаковими, а для типу ${\displaystyle A_{2}}$ маємо ${\displaystyle \varepsilon (\sigma )=(-1)^{p}\varepsilon (\sigma ).}$

Із цими позначеннями:

${\displaystyle \sum _{\sigma \in A_{1}}\varepsilon (\sigma )\cdot \beta (X_{1},\dots ,X_{\sigma (p)})\cdot \gamma (X_{\sigma (p+1)},\dots ,X_{\sigma (p+q)})=\sum _{\sigma \in A_{1}}\varepsilon (\sigma )\cdot (\iota _{X}\beta )(X_{\sigma '(1)},\dots ,X_{\sigma '(p-1)})\cdot \gamma (X_{\sigma '(p)},\dots ,X_{\sigma '(p+q-1)})=(\iota _{X}\beta )\wedge \gamma (X_{2},\ldots ,X_{p+q})}$

${\displaystyle \sum _{\sigma \in A_{2}}\varepsilon (\sigma )\cdot \beta (X_{\sigma (1)},\dots ,X_{\sigma (p)})\cdot \gamma (X_{1},\dots ,X_{\sigma (p+q)})=\sum _{\sigma \in A_{2}}(-1)^{p}\cdot \varepsilon (\sigma ')\cdot (\iota _{X}\beta )(X_{\sigma '(1)},\dots ,X_{\sigma '(p-1)})\cdot (\iota _{X}\gamma )(X_{\sigma '(p)},\dots ,X_{\sigma '(p+q-1)})=(-1)^{p}\beta \wedge (\iota _{X}\gamma )(X_{2},\ldots ,X_{p+q})}$

Загальна сума дає необхідний результат.

• Для внутрішньої похідної, похідної Лі і будь-яких векторних полів ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ на множині коваріантних тензорів задовольняється рівність

${\displaystyle \iota _{[X,Y]}={\mathcal {L}}_{X}\circ \iota _{Y}-\iota _{Y}\circ {\mathcal {L}}_{X}}$

Нехай ${\displaystyle \alpha }$ є p-коваріантним тензором. Тоді для довільних векторних полів ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{p-1}}$ за означенням:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\circ \iota _{Y}(\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{p-1})=X(\alpha (Y,X_{1},\ldots ,X_{p-1}))-\sum _{i=1}^{p-1}\alpha (Y,X_{1},\ldots ,[X,X_{i}],\ldots ,X_{p-1})}$

З іншого боку

${\displaystyle \iota _{Y}\circ {\mathcal {L}}_{X}(\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{p-1})={\mathcal {L}}_{X}\alpha (Y,X_{1},\ldots ,X_{p-1})=X(\alpha (Y,X_{1},\ldots ,X_{p-1}))-\alpha ([X,Y],X_{1},\ldots ,X_{p-1})-\sum _{i=1}^{p-1}\alpha (X_{1},\ldots ,[X,X_{i}],\ldots ,X_{p-1}).}$

Остаточно

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}\circ \iota _{Y}-\iota _{Y}\circ {\mathcal {L}}_{X})(\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{p-1})=\alpha ([X,Y],X_{1},\ldots ,X_{p-1})=\iota _{[X,Y]}\alpha (X_{1},\ldots ,X_{p-1}).}$

• Внутрішня похідна пов'язана із зовнішньою похідною і похідною Лі для диференціальних форм формулою Картана:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =d(\iota _{X}\omega )+\iota _{X}d\omega =\left\{d,\iota _{X}\right\}\omega .}$

Для випадку диференційовних функцій ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=Xf,}$ а також ${\displaystyle \iota _{X}f=0}$ і ${\displaystyle \iota _{X}df=df(X)=Xf,}$ що доводить необхідну рівність.

Для диференційовної p-форми (p > 0) ${\displaystyle \omega }$ і довільних векторних полів ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{p}}$ згідно означень:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}(\iota _{X}d\omega )(X_{1},\ldots ,X_{p})=d\alpha (X,X_{1},\ldots ,X_{p})&=&X(\omega (X_{1},\ldots ,X_{p}))+\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i}X_{i}(\omega (X,\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k}))\\[0.5em]&+&\sum _{j=1}^{p}(-1)^{j}\omega ([X,X_{j}],X_{1},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{p})+\sum _{1\leq i<j\leq p}(-1)^{i+j}\omega ([X_{i},X_{j}],X,\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k})\end{array}}}$

З іншого боку:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}(d\iota _{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{p})&=&\sum _{i=1}^{p}(-1)^{i}X_{i}(\omega (X,\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{p}))\\[0.5em]&+&\sum _{1\leq i<j\leq p}(-1)^{i+j}\omega ([X_{i},X_{j}],X,[X,Y],X_{1},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{p})\end{array}}.}$

Додаючи ці вирази одержуємо:

${\displaystyle (\iota _{X}d+d\iota _{X})\omega (X_{1},\ldots ,X_{p})=X(\omega (X_{1},\ldots ,X_{p}))+\sum _{j=1}^{p}(-1)^{j}\omega ([X,X_{j}],X_{1},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{p})={\mathcal {L}}_{X}\omega (X_{1},\ldots ,X_{p})}$

• Диференціальна форма
• Зовнішня похідна
• Похідна Лі

• Morita, Shigeyuki (2001). Geometry of Differential Forms. Translations of mathematical monographs 201. AMS. ISBN 0-8218-1045-6.