Гармонічні коливання

Гармонічними коливаннями називаються періодичні коливання[1] фізичної величини (або будь-якої іншої) залежно від часу, які відбуваються згідно із законами синуса або косинуса

y=A\cos(\omega t+\varphi )

,

При проходженні хвилі в просторі кожна точка здійснює гармонічні коливання

або

y=A\sin(\omega t+\varphi )

,

де $y$ — це фізична величина, що коливається, $t$ — час, $A$ — це найбільше значення, яке приймає величина $y$ під час коливань, яке називають амплітудою коливань, $\omega$ — циклічна частота коливань, $\varphi$ — фаза коливань.

Періодом коливань називається величина

T={\frac {2\pi }{\omega }}

.

Частота коливань визначається, як

\nu ={\frac {1}{T}}

.

Диференціальні рівняння

Фізична величина $y$ , яка здійснює гармонічні коливання, задовольняє диференціальне рівняння

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\omega ^{2}y=0

.

У цьому випадку амплітуда коливань визначається початковими умовами.

Гармонічний осцилятор із частотою $\omega _{0}$ може здійснювати гармонічні коливання на іншій частоті $\omega$ під впливом зовнішньої дії з цією частотою. У такому випадку гармонічні коливання величини $y$ задовольняє диференціальному рівнянню

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}y=f\cos(\omega t+\varphi )

.

Такі коливання називаються вимушеними. Амплітуда вимушених коливань визначається величиною зовнішньої дії та співвідношенням величин власної частоти та частоти зовнішньої сили. Див. Резонанс.

Згасання гармонічних коливань

В результаті дії різноманітних сил, які призводять до втрати енергії, коливання можуть згасати. В такому випадку вони описуються формулою

y=y_{0}e^{-\alpha t}\cos(\omega t+\varphi )

.

Величина $\alpha$ називається декрементом згасання коливань. Обернена до декременту величина називається сталою часу згасаючих коливань.

Ангармонічні коливання

Періодичні коливання, що не описуються вказаним законом називаються ангармонічними. Якщо величина $y$ здійснює коливання із періодом $T$ таким чином, що

y(t+T)=y(t)

,

то їхня частота визначається, як $\omega =2\pi /T$ .

Ангармонічні коливання, які є періодичною функцією, можна розкласти в ряд Фур'є, тобто записати у вигляді суми гармонічних коливань:

y=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos(n\omega t+\varphi )

.

Члени цього розкладу називаються гармоніками. В акустиці вищі члени такого розкладу називаються також обертонами; саме вони визначають тембр звуку.

Приклади

Гармонічні коливання дуже розповсюджені в природі й техніці. До них належать малі коливання підвішеного на пружині тягаря, малі коливання маятника, коливання в молекулах, якими зумовлене поглинання інфрачервоних променів, різноманітні коливання в електротехніці, наприклад у коливальному контурі та інші.

Див. також

Примітки

Бишоп Р., Колебания, Москва, Наука, 1979, 160 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Бишоп Р., Колебания, Москва, Наука, 1979, 160 с.