Геостаціонарна орбіта

На геостаціонарній орбіті супутник не наближається до Землі і не віддаляється від неї, і крім того, обертаючись разом із Землею, постійно знаходиться над якоюсь точкою на екваторі. Отже, сила гравітації і відцентрова сила, що діють на супутник, повинні зрівноважувати одна одну. Для обчислення висоти геостаціонарної орбіти можна скористатися методами класичної механіки, і, перейшовши у систему відліку супутника, виходити з такого рівняння:

${\displaystyle F_{i}=F_{\Gamma }}$,

де ${\displaystyle F_{i}}$ — сила інерції, а в даному випадку, відцентрова сила; ${\displaystyle F_{\Gamma }}$ — гравітаційна сила. Величину гравітаційної сили, що діє на супутник, можна визначити за законом всесвітнього тяжіння Ньютона:

${\displaystyle F_{\Gamma }=G\cdot {\frac {M_{3}\cdot m_{c}}{R^{2}}}}$,

де ${\displaystyle m_{c}}$ — маса супутника, ${\displaystyle M_{3}}$ — маса Землі в кілограмах, ${\displaystyle G}$ — гравітаційна стала, а ${\displaystyle R}$ — відстань у метрах від супутника до центру Землі або, в даному випадку, радіус орбіти. Величина відцентрової сили дорівнює:

${\displaystyle F_{i}=m_{c}\cdot a}$,

де ${\displaystyle a}$ — доцентрове прискорення, що виникає при коловому русі по орбіті.

Як можна бачити, маса супутника ${\displaystyle m_{c}}$ наявна як множник у виразах для відцентрової сили і гравітаційної сили, тобто висота орбіти не залежить від маси супутника, що справедливо для будь-яких орбіт[Прим. 1] і є наслідком рівності гравітаційної та інертної маси. Отже, геостаціонарна орбіта визначається лише висотою, за якої відцентрова сила буде рівна за модулем і протилежна за напрямом гравітаційній силі, створюваній тяжінням Землі на даній висоті.

Доцентрове прискорення дорівнює:

${\displaystyle a=\omega ^{2}\cdot R}$,

де ${\displaystyle \omega }$ — кутова швидкість обертання супутника, в радіанах за секунду.

Зробимо одне важливе уточнення. Насправді, доцентрове прискорення має фізичний сенс тільки в інерційній системі відліку, у той час як відцентрова сила є так званою уявною силою і має місце виключно в системах відліку, які пов'язані з обертовими тілами. Доцентрова сила (в даному випадку — сила гравітації) викликає доцентрове прискорення. За модулем доцентрове прискорення в інерційній системі відліку дорівнює відцентровому в системі відліку, пов'язаній у нашому випадку зі супутником. Тому надалі, з урахуванням зробленого зауваження, ми можемо вживати термін «доцентрове прискорення» разом із терміном «відцентрова сила».

Зрівнюючи вирази для гравітаційних і відцентрових сил з підставленням доцентрового прискорення, отримуємо:

${\displaystyle m_{c}\cdot \omega ^{2}\cdot R=G\cdot {\frac {M_{3}\cdot m_{c}}{R^{2}}}}$.

Скоротивши ${\displaystyle m_{c}}$, перенісши ${\displaystyle R^{2}}$ вліво, а ${\displaystyle \omega ^{2}}$ вправо, отримуємо:

${\displaystyle R^{3}=G\cdot {\frac {M_{3}}{\omega ^{2}}}}$

або

${\displaystyle R={\sqrt[{3}]{\frac {G\cdot M_{3}}{\omega ^{2}}}}}$.

Можна записати вираз інакше, замінивши ${\displaystyle G\cdot M_{3}}$ на ${\displaystyle \mu }$ — геоцентричну гравітаційну постійну:

${\displaystyle R={\sqrt[{3}]{\frac {\mu }{\omega ^{2}}}}}$

Кутова швидкість ${\displaystyle \omega }$ обчислюється діленням кута, пройденого за один оберт (${\displaystyle 360^{\circ }=2\cdot \pi }$ радіан) на період обертання (час, за який відбувається один повний оберт по орбіті: одна зоряна доба, або 86 164 секунди). Отримуємо:

${\displaystyle \omega ={\frac {2\cdot \pi }{86164}}=7,29\cdot 10^{-5}}$ рад/с

Отриманий радіус орбіти становить 42 164 км. Віднімаючи екваторіальний радіус Землі, 6 378 км, отримуємо висоту 35 786 км.

Можна виконати обчислення й інакше. Висота геостаціонарної орбіти — це таке віддалення від центру Землі, де кутова швидкість супутника, що збігається з кутовою швидкістю обертання Землі, породжує орбітальну (лінійну) швидкість, рівну першій космічній швидкості (для забезпечення колової орбіти) на даній висоті.

Лінійна швидкість супутника, який рухається з кутовою швидкістю ${\displaystyle \omega }$ на відстані ${\displaystyle R}$ від центру обертання дорівнює

${\displaystyle v_{l}=\omega \cdot R}$

Перша космічна швидкість на відстані ${\displaystyle R}$ від об'єкта масою ${\displaystyle M}$ дорівнює

${\displaystyle v_{k}={\sqrt {G{\frac {M}{R}}}};}$

Прирівнявши праві частини рівнянь, приходимо до отриманого раніше виразу для радіуса ГСО:

${\displaystyle R={\sqrt[{3}]{G{\frac {M}{\omega ^{2}}}}}}$

Швидкість руху по геостаціонарній орбіті обчислюється множенням кутової швидкості на радіус орбіти:

${\displaystyle v=\omega \cdot R=3{,}07}$ км/с

Це приблизно в 2,5 рази менше, ніж перша космічна швидкість, що дорівнює 8 км/с на навколоземній орбіті (з радіусом 6400 км). Оскільки квадрат швидкості для колової орбіти обернено пропорційний її радіусу,

${\displaystyle v={\sqrt {G{\frac {M}{R}}}};}$

то зменшення швидкості по відношенню до першої космічної досягається збільшенням радіуса орбіти більш ніж у 6 разів.

${\displaystyle R\approx \,\!{6400\cdot \left({\frac {8}{3{,}07}}\right)^{2}}\approx \,\!43000}$

Довжина геостаціонарної орбіти: ${\displaystyle {2\cdot \pi \cdot R}}$. За радіусу орбіти 42 164 км отримуємо довжину орбіти 264 924 км

Довжина орбіти вкрай важлива для обчислення «точок стояння» супутників.

Для компенсації цих збурень і утримання супутника в призначеній точці стояння супутник оснащується рушійною установкою (хімічною або електроракетною). Періодичними увімкненнями двигунів малої тяги (корекція «північ — південь» для компенсації зростання нахилення орбіти і «захід — схід» для компенсації дрейфу вздовж орбіти) супутник утримується в призначеній точці стояння. Такі увімкнення проводяться по декілька разів на 10 — 15 діб. Істотно, що для корекції «північ — південь» потрібен значно більший приріст характеристичної швидкості (близько 45 — 50 м/с на рік), ніж для довготної корекції (близько 2 м/с на рік). Для забезпечення корекції орбіти супутника протягом всього терміну його експлуатації (12 — 15 років для сучасних телевізійних супутників) потрібен значний запас палива на борту (сотні кілограмів у разі застосування хімічного двигуна). Хімічний ракетний двигун супутника має витискальну подачу палива (газ наддуву — гелій), працює на довгозбережуваних висококиплячих компонентах (зазвичай несиметричний диметилгідразин і діазотний тетраоксид). На низці супутників встановлюються плазмові двигуни. Їх тяга істотно менша, порівняно з хімічними, однак більша ефективність дозволяє (за рахунок тривалої роботи, що вимірюється десятками хвилин для одиничного маневру) радикально знизити необхідну масу палива на борту. Вибір типу рушійної установки визначається конкретними технічними особливостями апарату.

Ця ж рушійна установка використовується за необхідності для маневру переведення супутника на іншу орбітальну позицію. У деяких випадках (як правило, наприкінці терміну експлуатації супутника) для скорочення витрати палива корекція орбіти «північ — південь» припиняється, а залишок палива використовується тільки для корекції «захід — схід».

Запас палива є основним обмежувальним фактором терміну служби супутника на геостаціонарній орбіті (крім відмов компонентів самого супутника).

Зв'язок через геостаціонарні супутники характеризується значними затримками в поширенні сигналу. При висоті орбіти 35 786 км і швидкості світла близько 300 000 км/с хід променя «Земля — супутник» вимагає близько 0,12 с. Хід променя «Земля (передавач) → супутник → Земля (приймач)» ≈0,24 с. Повна затримка (вимірювана утилітою Ping) при використанні супутникового зв'язку для прийому і передачі даних складе майже півсекунди. З урахуванням затримки сигналу в апаратурі ШСЗ, в апаратурі та в кабельних системах передач наземних служб загальна затримка сигналу на маршруті «джерело сигналу → супутник → приймач» може досягати 2 — 4 секунд[7]. Така затримка ускладнює застосування супутників на ГСО в телефонії та унеможливлює застосування супутникового зв'язку з використанням ГСО в різних сервісах реального часу (наприклад в онлайн-іграх)[8].

Оскільки геостаціонарну орбіту не видно з високих широт (приблизно від 81° до полюсів), а на широтах вище 75° вона спостерігається дуже низько над горизонтом (у реальних умовах супутники просто ховаються за рельєфом місцевості або об'єктами, що виступають над ним) і видно лише невелику ділянку орбіти (див. таблицю), то у високоширотних районах Крайньої Півночі (Арктики) й Антарктиди неможливий зв'язок і телетрансляція з використанням ГСО[9]. Приміром, американські полярники на станції Амундсен-Скотт для зв'язку із зовнішнім світом (телефонія, інтернет) використовують оптоволоконний кабель довжиною 1670 кілометрів до розташованої на 75° пд. ш. французької станції Конкордія, з якої вже видно декілька американських геостаціонарних супутників[10].

Таблиця спостережуваного сектора геостаціонарної орбіти в залежності від широти місця. Всі дані наведені в градусах та їх частинах.

Із таблиці видно, наприклад, що якщо на широті Санкт-Петербурга (~60°) видимий сектор орбіти (і, відповідно, кількість супутників, що приймаються) дорівнює 84 % від максимально можливого (на екваторі), то на широті півострова Таймир (~75°) видимий сектор становить 49 %, а на широті Шпіцбергена і мису Челюскін (~78°) — лише 16 % від спостережуваного на екваторі. У цей сектор орбіти в районі Сибіру потрапляє 1 — 2 супутники (не завжди потрібного оператора).

Одним з найбільш неприємних недоліків геостаціонарної орбіти є зменшення чи повна відсутність сигналу в ситуації, коли на лінію між приймальною антеною й супутником потрапляє Сонце («Сонце за супутником»). Це явище притаманне й іншим орбітах, але саме на геостаціонарній, коли супутник «заморожений» на небі, виявляється особливо яскраво. У середніх широтах північної півкулі сонячна інтерференція проявляється в періоди з 22 лютого по 11 березня і з 3 по 21 жовтня, з максимальною тривалістю до десяти хвилин[11]. У такі моменти в ясну погоду сонячні промені, сфокусовані світлим покриттям антени можуть навіть пошкодити (розплавити або перегріти) приймально-передавальну апаратуру супутникової антени[12].