Головне значення інтеграла за Коші
Головне́ зна́чення інтегра́ла за Коші́ — це узагальнення поняття інтеграла Рімана, яке дозволяє обчислювати деякі розбіжні невласні інтеграли. Ідея головного значення інтеграла за Коші полягає в тому, що при наближенні інтервалів інтегрування до особливої точки з обох боків «з однаковою швидкістю» особливості нівелюють одна одну (за рахунок різних знаків ліворуч та праворуч), і в результаті можна отримати скінченну границю, яка і називається головним значенням інтегралу за Коші.
Так, наприклад, інтеграл як невласний інтеграл ІІ роду не існує, однак він існує в сенсі головного значення інтеграла за Коші.
Означення головного значення інтеграла за Коші
Означення (для особливої точки «∞»)
Означення (для особливої точки «∞»). Нехай f(x) визначена на (−∞, +∞) та f ∈ R([−A, A]) для всіх A > 0, але невласний інтеграл І роду є розбіжним. Якщо існує скінченна границя
то ця границя називається головним значенням інтеграла за Коші (або головним значенням в сенсі Коші) для функції f по проміжку (−∞, +∞) і позначається символом
При цьому кажуть, що функція f(x) інтегрована на (−∞, +∞) за Коші (або інтегрована на (−∞, +∞) в сенсі Коші).
Приклад. Розглянемо невласний інтеграл Цей інтеграл є розбіжним, бо розбіжним є, наприклад, інтеграл але існує головне значення даного інтеграла в сенсі Коші:
Теорема.}
Означення (для скінченної особливої точки)
Означення (для скінченної особливої точки). Нехай функція f : [a, b] → R задовольняє умовам:
- існує δ > 0 таке, що f ∈ R([a, c − ε]) та f ∈ R([c + ε, b]) для всіх ε ∈ (0, δ);
- розбіжним є невласний інтеграл другого роду
Якщо існує скінченна границя
то ця границя називається головним значенням інтеграла за Коші (або головним значенням в сенсі Коші) для функції f по відрізку [a, b] і позначається символом
При цьому кажуть, що функція f(x) інтегрована на [a, b] за Коші (або інтегрована на [a, b] в сенсі Коші).
Приклад. Розглянемо невласний інтеграл ІІ роду (див. Рис.) Він є розбіжним, оскільки розбіжним є, наприклад, інтеграл При цьому у розумінні головного значення за Коші даний інтеграл існує і дорівнює нулю:
Випадок декількох особливих точок на проміжку інтегрування
Приклад. Розглянемо невласний інтеграл (див. Рис.). Особливими точками підінтегральної функції f(x) = 2x / (x²−1) є точки −1, 1 та ∞. Даний інтеграл є розбіжним, бо розбіжним є, наприклад, інтеграл
Очевидно, що f ∈ R([1/ε, −1−ε]) ∩ R([−1+ε, 1−ε]) ∩ R([1+ε, 1/ε]) для всіх ε ∈ (0, 1) (бо є обмеженою на кожному з цих відрізків). Перевіримо інтегровність функції f в сенсі Коші:
Отже, функція f є інтегровною в сенсі Коші на проміжку (−∞, +∞).
Див. також
- Невизначений інтеграл функції комплексної змінної
- Первісна
- Інтегральне числення
- Визначений інтеграл
- Інтеграл Рімана
- Інтеграл Стілтьєса (або інтеграл Рімана—Стілтьєса)
- Інтеграл Лебега
- Інтеграл Даніелла
- Інтеграл Бохнера
- Невласний інтеграл
- Визначений інтеграл
- Метод Самокиша — чисельний метод для обчислення інтегралів з особливостями.
Джерела
- Дороговцев А. Я. Математический анализ. — Київ, Вища школа, 1985.