Невласний інтеграл

Невласний інтеграл першого роду є площею нескінченно широкої криволінійної трапеції

Нехай a ∈ R. Невласний інтеграл першого роду визначається на одному з таких нескінченних інтервалів:

1. (a, +∞);
2. (−∞, a);
3. (-∞, +∞).

Означення. Нехай функція f : (a, +∞) → R така, що ∀ A > a : f ∈ R([a, A]), тобто є скінченним інтеграл Рімана

${\displaystyle \int _{a}^{A}f(x)\,dx=:F(A).}$

Якщо існує скінченна границя послідовності інтегралів F(A), коли A → +∞, то

• значення цієї границі називають невласним інтегралом першого роду для функції f по інтервалу (a, +∞) і позначають символом ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx;}$

• невласний інтеграл ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx}$ називають збіжним.

Якщо ж виконуються умови означення, але границя F(A) не існує або рівна ±∞, то кажуть, що невласний інтеграл першого роду для функції f розбігається (або є розбіжним).

Аналогічно можна дати означення невласного інтеграла першого роду для інтервалу (−∞, a).

Приклад. Розглянемо інтеграл

${\displaystyle \int _{-1}^{+\infty }{\frac {1}{x}}\,dx.}$

Для довільного A > 0 функція f(x) = 1/x ∉ R([-1, A]) (бо є необмеженою в околі точки 0). Отже, даний інтеграл не є невласним інтегралом першого роду.

Приклад. Розглянемо інтеграл

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx.}$

Для всіх A > 0 функція f(x) = 1/(1+x²) ∈ R([0, A]) як обмежена функція. Отже, даний інтеграл є невласним інтегралом першого роду. Дослідимо його збіжність:

${\displaystyle F(A):=\int _{0}^{A}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\mathop {\mathrm {arctg} } \,x{\Bigr |}_{x=0}^{A}=\mathop {\mathrm {arctg} } \,A\rightarrow \pi /2,\quad A\to +\infty .}$

Отже, даний невласний інтеграл є збіжним, і його значення дорівнює π/2.

Приклад. Розглянемо інтеграл

${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x}}\,dx.}$

Для всіх A > 1 функція f(x) = 1/x ∈ R([1, A]) як обмежена функція. Отже, даний інтеграл є невласним інтегралом першого роду. Дослідимо його збіжність:

${\displaystyle F(A):=\int _{1}^{A}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln x{\Bigr |}_{x=1}^{A}=\ln A\rightarrow +\infty ,\quad A\to +\infty .}$

Отже, даний невласний інтеграл є розбіжним.

Приклад. Розглянемо інтеграл

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\cos x\,dx.}$

Для всіх A > 0 функція f(x) = cos x ∈ R([0, A]) як обмежена функція. Отже, даний інтеграл є невласним інтегралом першого роду. Дослідимо його збіжність:

${\displaystyle F(A):=\int _{1}^{A}\cos x\,dx=\sin x{\Bigr |}_{x=0}^{A}=\sin A.}$

Оскільки не існує границі sin A при A → +∞,[1] то даний невласний інтеграл є розбіжним.

Означення. Нехай функція f : (−∞, +∞) → R така, що ∀ A, B ∈ R, A < B : f ∈ R([A, B]), тобто є скінченним інтеграл Рімана

${\displaystyle \int _{A}^{B}f(x)\,dx=:F(A,B);}$

Якщо існує скінченна подвійна границя послідовності інтегралів F(A, B), коли A → −∞ та B → +∞ незалежно одне від одного, то

• значення цієї границі називають невласним інтегралом першого роду для функції f по інтервалу (−∞, +∞) і позначають одним із символів

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx,\qquad \int _{\mathbb {R} }f(x)\,dx}$

• невласний інтеграл ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx}$ називають збіжним.

Якщо ж виконується умова означення, але границя F(A, B) не існує або рівна ±∞, то кажуть, що невласний інтеграл першого роду для функції f розбігається (або є розбіжним).

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx}$ збігається ⇔ ∀a ∈ R інтеграли ${\displaystyle \int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx,}$ ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx}$ є збіжними;

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx}$ розбігається ⇔ ∃a ∈ R таке, що хоча б один із інтегралів ${\displaystyle \int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx,}$ ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx}$

є розбіжним.

Нехай функція f(x) задовольняє умові означення для інтервалу (a, +∞).

Невласний інтеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx}$ збігається тоді і лише тоді, коли

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists A_{0}\geq a\quad \forall A'\geq A_{0}\quad \forall A''\geq A_{0}:\quad \left|\int _{A'}^{A''}f(x)\,dx\right|<\varepsilon .}$

Аналогічно можна сформулювати критерій Коші збіжності невласного інтеграла першого роду по інтервалу (−∞, a).

Нехай функція f(x) задовольняє умові означення для інтервалу (a, +∞).

• Якщо існує функція g(x) така, що
  1. |f(x)| ≤ g(x) для всіх x ≥ a та
  2. ∫_a^+∞g(x) dx збігається,

то ∫_a^+∞f(x) dx теж збігається.

• Якщо існує функція g(x) така, що
  1. 0 ≤ g(x) ≤ |f(x)| для всіх x ≥ a та
  2. ∫_a^+∞g(x) dx розбігається,

то ∫_a^+∞f(x) dx теж розбігається.

У випадку, коли f(x) — невід'ємна, ознаки порівняння можна схематично записати у вигляді:

       f(x) ≤ g(x)
        зб. ⇐ зб.
      розб. ⇒ розб.

Аналогічні твердження мають місце для невласних інтегралів по інтервалам (−∞, a) та (−∞, +∞).

Означення. Невласний інтеграл ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx}$ називається абсолютно збіжним, якщо збіжним є невласний інтеграл

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }|f(x)|\,dx.}$

Означення. Збіжний невласний інтеграл, який не є абсолютно збіжним, називається умовно збіжним.

Теорема. Якщо невласний інтеграл збігається абсолютно, то він збігається.

Нехай для функцій {f, g} ⊂ C([a, +∞)) виконуються умови:

1. існує стала C ∈ R така, що для всіх A ≥ a: ${\displaystyle \left|\int _{a}^{A}f(x)dx\right|\leq C;}$
2. функція g монотонна на [a, +∞);
3. g(x) → 0 при x → +∞.

Тоді збіжним буде невласний інтеграл ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)g(x)\,dx.}$

Приклад. Розглянемо інтеграл Діріхле

${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx.}$

Цей інтеграл є збіжним за ознакою Діріхле: функції f(x) = sin x та g(x) = 1/x є неперервними на [1, +∞) та задовольняють умовам 1—3 ознаки Діріхле.

Нехай функції f, g визначені на [a, +∞) та задовольняють умовам:

1. збіжним є невласний інтеграл ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx;}$
2. функція g монотонна на [a, +∞);
3. функція g — обмежена на [a, +∞).

Тоді збіжним буде невласний інтеграл ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)g(x)\,dx.}$