Двостороннє перетворення Лапласа

Якщо ${\displaystyle f(t)}$ є дійсною або комплексною функцією дійсної змінної ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$, то двостороннє перетворення Лапласа ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}}$ задається формулою

${\displaystyle {\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

Інтеграл у цьому визначенні мається на увазі невласним і збіжним тоді, коли існують ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\\\\int _{-\infty }^{0}e^{-st}f(t)\,dt\end{matrix}}\right.}$

Іноді двосторонні перетворення записують у вигляді

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{f(t)\right\}=s{\mathcal {B}}\left\{f\right\}=sF(s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

Загалом, змінна ${\displaystyle t}$ може бути як дійсною, так і комплексною величиною.

• Якщо ${\displaystyle u(t)}$ - функція Гевісайда, то звичайне перетворення Лапласа ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ можна виразити через двостороннє формулою

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {B}}\left\{f(t)u(t)\right\}.}$

І навпаки: з двостороннього перетворення можна отримати звичайне за формулою

${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f(t)\right\}(s)+\left\{{\mathcal {L}}f(-t)\right\}(-s).}$

• Перетворення Мелліна можна виразити через двостороннє перетворення Лапласа формулою

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)}$

І навпаки: з двостороннього перетворення можна отримати перетворення Мелліна за формулою

${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s).}$

• Перетворення Фур'є можна визначити через двостороннє перетворення Лапласа формулою

${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-is).}$

• Wilbur R. LePage, Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers, Dover Publications, 1980
• van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd edition, 1987