Перетворення Мелліна

Перетворення Меллінаінтегральне перетворення, яке можна розглядати як мультиплікативну версію двостороннього перетворення Лапласа. Це інтегральне перетворення тісно пов'язане з теорією рядів Діріхле і часто використовується в теорії чисел і в теорії асимптотичних розкладів. Перетворення Мелліна тісно пов'язане з перетворенням Лапласа і перетворенням Фур'є, а також теорією гамма-функцій і теорією суміжних спеціальних функцій.

Перетворення названо на честь фінського математика Ялмара Мелліна.

Визначення

Пряме перетворення Мелліна задається формулою:

.

Обернене перетворення — формулою:

.

Передбачається, що інтегрування відбувається в комплексній площині. Умови, при яких можна робити перетворення, збігаються з умовами теореми оберненого перетворення Мелліна.

Зв'язок з іншими перетвореннями

Двосторонній інтеграл Лапласа може бути виражений через перетворення Мелліна:

.

І навпаки: перетворення Мелліна виражається через двостороннє перетворення Лапласа формулою:

Перетворення Фур'є може бути виражено через перетворення Мелліна формулою:

.

Навпаки:

.

Перетворення Мелліна також пов'язує інтерполяційні формули Ньютона або біноміальні перетворення з твірною функцією послідовності за допомогою циклу Пуассона — Мелліна — Ньютона.

Приклади

Інтеграл Каена — Мелліна

Якщо:

  • де функція визначена за допомогою головної гілки логарифму,

то [1]

,
де
гамма-функція.

Названий на честь Ялмара Мелліна і французького математика Ежена Каена.

Перетворення Мелліна для просторів Лебега

В гільбертовому просторі перетворення Мелліна можна задати трохи інакше. Для простору будь-яка фундаментальна смуга включає в себе . У зв'язку з цим можна задати лінійний оператор як:

.

Тобто:

.

Зазвичай цей оператор позначається і називається перетворенням Мелліна, але тут і надалі ми будемо використовувати позначення .

Теорема про обернене перетворення Мелліна показує, що

Крім того, цей оператор є ізометричним, тобто

для .

Це пояснює коефіцієнт

Зв'язок з теорією ймовірностей

У теорії ймовірностей перетворення Мелліна є важливим інструментом для вивчення розподілу випадкових величин

Якщо:

  • — випадкова величина,

то перетворення Мелліна задається як:

де уявна одиниця.

Перетворення Мелліна випадкової величини однозначно визначає її функцію розподілу .

Застосування

Перетворення Мелліна є важливим для інформаційних технологій, особливо для розпізнавання образів.

Таблиця перетворень Мелліна

де:

Примітки

  1. Hardy, GH; Littlewood, J. E.  // Acta Mathematica : journal.  1916. No. 1. P. 119-196. DOI:10.1007 / BF02422942. (See notes therein for further references to Cahen's and Mellin's work, including Cahen's thesis.)

Література

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.