Нескінченновимірний простір

Лінійний векторний простір називають нескінченновимірним, якщо для будь-якого цілого числа ${\displaystyle N>0}$ у ньому знайдеться лінійно незалежна система, що складається з ${\displaystyle N}$ векторів[2][3].

Для нескінченновимірного простору існують різні визначення базису. Так, наприклад, базис Гамеля визначають як множину векторів у лінійному просторі, таких, що будь-який вектор простору можна подати у вигляді деякої їх скінченної лінійної комбінації єдиним чином.

Для топологічних векторних просторів можна визначити базис Шаудера. Система елементів ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}}$ утворює базис Шаудера простору ${\displaystyle E}$, якщо кожен елемент ${\displaystyle x\in E}$ можна подати єдиним чином у вигляді збіжного ряду ${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e_{k}}$[4]. Базис Шаудера існує не завжди.

• Лінійний простір неперервних на даному проміжку функцій[2].
• Гільбертів простір, утворений нескінченною послідовністю чисел ${\displaystyle x=(\xi _{1},...,\xi _{k},...)}$ зі збіжною сумою квадратів ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}^{2}<\infty }$[5].
• Множина всіх многочленів[6].
• Фазовий простір у статистичній фізиці є майже нескінченновимірним.[7]
• Простір квадратично-сумованих послідовностей

• Нескінченновимірний простір не ізоморфний ніякому скінченновимірному[8].

• Скінченновимірний простір

• Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. — М. : Физматлит, 2004. — 464 с. — ISBN 5-9221-0386-5.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М. : Наука, 1961. — 436 с.
• під ред. Крейна С.Г. Функциональный анализ. — М. : Наука, 1964. — 424 с. — 17500 прим.