Досконале поле

Досконале поле — поле F, будь-який многочлен над яким є сепарабельним. Інакше кажучи, будь-яке алгебричне розширення поля F — сепарабельне розширення. Всі інші поля називаються недосконалими.

Всі поля характеристики 0 досконалі. Поле F скінченної характеристики p є досконалим тоді й лише тоді коли F = F^p, тобто піднесення до степеня p є автоморфізмом поля F. Скінченні поля і алгебраїчно замкнуті поля є досконалими.

Будь-яке алгебричне розширення досконалого поля теж є досконалим полем.

Приклад недосконалого поля — поле F_q(X) раціональних функцій над полем F_q, де F _q — поле з q=pⁿ елементів. Досконале поле F збігається з полем інваріантів групи всіх F-автоморфізмів алгебраїчного замикання поля F.

Для довільного поля F характеристики p > 0 з алгебраїчним замиканням ${\displaystyle {\bar {F}}}$ поле

${\displaystyle F^{p^{-\infty }}=\cup _{n}F^{p^{-n}}\subset {\bar {F}}}$

є найменшим досконалим полем, що містить F. Воно називається досконалим замиканням поля F в ${\displaystyle {\bar {F}}}$.