Досконале поле

Досконале полеполе F, будь-який многочлен над яким є сепарабельним. Інакше кажучи, будь-яке алгебричне розширення поля Fсепарабельне розширення. Всі інші поля називаються недосконалими.

Всі поля характеристики 0 досконалі. Поле F скінченної характеристики p є досконалим тоді й лише тоді коли F = Fp, тобто піднесення до степеня p є автоморфізмом поля F. Скінченні поля і алгебраїчно замкнуті поля є досконалими.

Будь-яке алгебричне розширення досконалого поля теж є досконалим полем.

Приклад недосконалого поля — поле Fq(X) раціональних функцій над полем Fq, де F q — поле з q=pn елементів. Досконале поле F збігається з полем інваріантів групи всіх F-автоморфізмів алгебраїчного замикання поля F.

Для довільного поля F характеристики p > 0 з алгебраїчним замиканням поле

є найменшим досконалим полем, що містить F. Воно називається досконалим замиканням поля F в .

Див. також

Література

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.