Екситон Ваньє-Мотта

Для розрахунку енергетичного спектру екситона Ваньє-Мотта скористаємось примітивною моделлю. Будемо вважати ефективні маси електрона та дірки ізотропними. Також вважаємо, що відстань між електроном та діркою велика, в цьому випадку можна користуватися методом ефективної маси. Тоді рівняння Шредінгера для такої системи матиме вигляд:

${\displaystyle \left({\frac {{\hat {\mathbf {p} }}_{e}^{2}}{2m_{e}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {p} }}_{h}^{2}}{2m_{h}}}+{\frac {e^{2}}{{\varepsilon }r}}\right)\Psi =E\Psi }$

За допомогою заміни змінних відокремлюють поступальний рух центру мас та обертальний рух частинок навколо центру мас, що приводить до рівняння:

${\displaystyle \left({\frac {{\hat {\mathbf {p} }}_{ex}^{2}}{2\mu }}+{\frac {e^{2}}{{\varepsilon }r}}\right)\Phi (r)=\left(E-{\frac {\hbar ^{2}k_{ex}^{2}}{M}}\right)\Phi (r)}$

Це рівняння аналогічне рівнянню Шредінгера для атома водню. Звідси витікає, що дисперсійна залежність енергії екситона має вигляд:

${\displaystyle E_{n}(k_{ex})=-{\frac {{\mu }e^{2}}{2\hbar ^{2}\varepsilon ^{2}n^{2}}}+{\frac {\hbar ^{2}k_{ex}^{2}}{2M}}=E_{g}-{\frac {R_{ex}}{n^{2}}}+{\frac {\hbar ^{2}k_{ex}^{2}}{2M}}}$,

де M = m_e+m_h, 1/μ = 1/m_e+1/m_h — зведена маса, r = r_e — r_h.

Величина R_ex = μe⁴/2ħ²с² за аналогією зі сталою Рідберга для атома водню назвається екситонним Рідбергом.

Таким чином, для екситона у стані спокою, ми отримуємо набір дискретних водневих рівнів, які відповідають енергіям збудження, меншим за E_g (ширина забороненої зони). Для енергій E > E_g + ħ²k2ex/2M розв'язки лежать у неперервному спектрі одноелектронних збуджень.

При великих концентраціях носіїв заряду в напівпровіднику суттєвим стає екранування кулонівської взаємодії і може відбуватися руйнування екситонів Ваньє—Мотта. За наявності вільних носіїв потенціал кулонівської взаємодії має вигляд:

${\displaystyle V(r)={e^{2} \over \varepsilon r}e^{-r/r_{D}}}$,

де ${\displaystyle r_{D}={\mathcal {E}}kT/4\pi e^{2}N}$ — дебаївський радіус екранування. Тут N — концентрація вільних носіїв заряду.

Якщо радіус першого екситонного стану з n=1 ${\displaystyle a_{ex}=\hbar ^{2}\varepsilon /\mu e^{2}}$ (борівський радіус екситону Ваньє-Мотта), то умова зникнення екситонної серії внаслідок екранування: a_ex > r_D. Для екситону Ваньє-Мотта в кристалах Ge ця умова виконується при концентрації донорів ~10¹⁷ см^-3 та Т=77 К. Таким чином, для спостереження слабозв'язаних екситонів в напівпровідниках необхідні низькі температури та чисті кристали.

Екситони Ваньє-Мотта чітко виявляють себе у спектрах поглинання напівпровідників у вигляді вузьких ліній, зсунутих на величину E_n нижче від краю оптичного поглинання. Водневоподібний спектр екситонів Ван'є — Мотта вперше спостерігався в спектрі поглинання Cu₂O. Екситони виявляються також у спектрах люмінесценції, у фотопровідності, в ефекті Штарка та ефекті Зеемана.