Зірчатий многокутник
Зірчатий багатокутник, також зірчастий багатокутник, або зірчастий многокутник — це многокутник, у якого всі сторони і кути рівні, а вершини збігаються з вершинами правильного багатокутника. Сторони зірчастого багатокутника можуть перетинатися між собою. Існує безліч зірчастих многокутників або зірок, серед них пентаграма, гексаграмма, дві гептаграми, октаграма, декаграма, додекаграма. Зірчасті багатокутники можна отримати за допомогою одночасного продовження всіх сторін правильного багатокутника після їх перетину в його вершинах до їх наступного перетину в точках, які і є вершинами зірчастого багатокутника. Отриманий зірчатий багатокутник буде зірчастої формою правильного багатокутника, з якого він отриманий. Вершинами зірчастого многокутника будуть вважатися тільки ті точки, в яких сходяться сторони цього багатокутника, але не точки перетину цих сторін; зірчаста форма даного багатокутника має стільки ж вершин, скільки він сам. Вказану дію неможливо виконати з правильним трикутником і квадратом, так як після продовження їхніх сторін, вони більше не перетинаються; серед правильних багатокутників зірчасті форми мають тільки багатокутники з числом сторін більше чотирьох. Зірчастою формою правильного п'ятикутника (пентагона) є пентаграма.
Зірки можуть бути не розірвано єдиними багатокутниками, не будучи сполуками інших правильних або зірчастих многокутників (як у випадку з пентаграмою), а можуть бути такими сполуками, прикладом чого може служити зірчаста форма шестикутника — гексаграма, яка являє собою об'єднання двох трикутників.
У правильного многокутника може бути кілька зірчастих форм, кількість яких залежить від того, скільки разів його сторони перетинаються між собою після їх продовження, прикладом чого є семикутник, має 2 зірчасті форми (два види семикутної зірки).
| Кількість вершин правильного багатокутника | Кількість зірчастих форм правильного багатокутника | Кількість не розірваних (сполучних) зоряних багатокутників серед зірчастих форм | Кількість вершин правильного багатокутника, розташованих між двома вершинами зоряного багатокутника |
|---|---|---|---|
| 5 | 1 | 1 | 1 |
| 6 | 1 | 0 | |
| 7 | 2 | 2 | 2; 3 |
| 8 | 2 | 1 | 2 |
| 9 | 3 | 2 | 1; 3 |
| 10 | 3 | 1 | 2 |
| 11 | 4 | 4 | 1; 2; 3; 4 |
| 12 | 4 | 1 | 4 |
Пурпурні — опуклі багатокутники.
Зелені — зв'язкові зірки {n / m} (де n і m взаємно прості числа).
Чорні — НЕ зв'язкові зірки {n / m} (де n і m НЕ взаємно прості числа).
Сині прямі з'єднують багатокутник (опуклий або зв'язну зірку) зі всіма не зв'язковими зірками, які є сполуками (після повороту) різної кількості однакових багатокутників, таких же як початкові.
Див. також
Посилання
- М. Веннинджер. Модели многогранников. — Москва : Мир, 1974.(рос.)