Зірчастий багатогранник

Зірчастою формою багатогранника називають багатогранник, отриманий продовженням граней даного багатогранника через ребра до їх наступного перетину з іншими гранями по нових ребрах.

Правильний зірчастий багатогранник — це зірчастий багатогранник, гранями якого є однакові (конгруентні) правильні або зірчасті багатокутники. На відміну від п'яти класичних правильних багатогранників (платонових тіл), ці багатогранники не є опуклими тілами.

1811 року Оґюстен Коші встановив, що існують всього 4 правильних зірчастих тіла (їх називають тілами Кеплера — Пуансо), які не є з'єднаннями платонових і зірчастих тіл. До них належать відкриті 1619 року Йоганном Кеплером малий зірчастий додекаедр і великий зірчастий додекаедр, а також великий додекаедр і великий ікосаедр, відкриті 1809 року Луї Пуансо. Інші правильні зірчасті багатогранники є або з'єднаннями платонових тіл, або з'єднаннями тіл Кеплера — Пуансо[1].

Напівправильні зірчасті багатогранники — це зірчасті багатогранники, грані яких є правильними або зірчастими багатокутниками, але не обов'язково однаковими. При цьому будова всіх вершин має бути однаковою (умова однорідності). Г. Коксетер, М. Лонге-Хіггінс і Дж. Міллер 1954 року перелічили 53 таких тіла і висунули гіпотезу про повноту свого списку[2]. Тільки значно пізніше в 1969 році Сопов С. П. довів, що їхній список багатогранників дійсно повний.

Багато форм зірчастих багатогранників зустрічаються в природі. Наприклад, сніжинки — це плоскі проєкції зірчастих багатогранників. Деякі молекули мають правильні структури об'ємних фігур.

На малюнках кожна грань для наочності пофарбована в інший колір.

Однорідні багатогранники — правильні і напівправильні опуклі багатогранники (платонові й архімедові тіла), правильні і напівправильні зірчасті багатогранники разом називають однорідними багатогранниками. У цих тіл всі грані є правильними багатокутниками (опуклими або зірчастими), а всі вершини однакові (тобто існують ортогональні перетворення багатогранника в себе, які переводять будь-яку вершину в будь-яку іншу). Існує 75 однорідних багатогранників.

Тетраедр і гексаедр (куб) не мають зірчастих форм, оскільки їх грані при продовженні через ребра більше не перетинаються.

Існує тільки одна зірчаста форма октаедра. Зірчастий октаедр відкрив Леонардо да Вінчі, потім через майже 100 років заново відкрив Й. Кеплер і назвав Stella octangula — восьмикутна зірка. Звідси ця форма має й другу назву: «stella octangula Кеплера»; по суті вона є з'єднанням двох тетраедрів.

Додекаедр має 3 зірчасті форми: малий зірчастий додекаедр, великий додекаедр, великий зірчастий додекаедр (зірчастий великий додекаедр, завершальна форма). На відміну від октаедра, будь-яка з зірчастих форм додекаедра не є з'єднанням платонових тіл, а утворює новий багатогранник.

У великого додекаедра гранями є п'яткутники, які сходяться по п'ять у кожній з вершин. У малого зірчастого і великого зірчастого додекаэдрів грані — п'ятикутні зірки (пентаграми), які в першому випадку сходяться по 5, а в другому по 3 грані в одній вершині.

Вершини великого зірчастого додекаедра збігаються з вершинами описаного додекаедра.

Ікосаедр має 59 зірчастих форм, з яких 32 мають повну, а 27 — неповну ікосаедральну симетрію, що довів Коксетер спільно з дю Валем, Флезером (H.T. Flather) і Петрі (John Flinders Petrie) із застосуванням правил обмеження, встановлених Дж. Міллером. Одна з цих зірчастих форм (20-а, модель 41 за Веннінґером), звана великим ікосаедром (див. рисунок), є одним з чотирьох правильних зірчастих багатогранників Кеплера — Пуансо. Його гранями є правильні трикутники, які сходяться в кожній вершині по п'ять; ця властивість великого ікосаедра спільна з ікосаедром.

Серед зірчастих форм також є: з'єднання п'яти октаедрів, з'єднання п'яти тетраедрів, з'єднання десяти тетраедрів. Перша зірчаста форма — малий триамбічний ікосаедр.

Якщо кожну з граней продовжити необмежено, то тіло буде оточене великим розмаїттям відсіків — частин простору, обмежених площинами граней. Усі зірчасті форми ікосаедра можна отримати додаванням до початкового тіла таких відсіків. Не рахуючи самого ікосаедра, продовження його граней відокремлюють від простору 20 + 30 + 60 + 20 + 60 + 120 + 12 + 30 + 60 + 60 = 472 відсіки десяти різних форм і розмірів. Великий ікосаедр складається з усіх цих шматків, за винятком останніх шістдесяти. Наступна зірчаста форма — завершальна.

Кубооктаедр має 4 зірчасті форми, що задовольняють обмеженням, введеним Міллером. Перша з них є з'єднанням куба і октаедра.

Ікосододекаедр має багато зірчастих форм, перша з яких — з'єднання ікосаедра й додекаедра.

Икосододекаедр має 32 грані, з яких 12 є правильними п'ятикутниками, а решта 20 — правильними трикутниками.

Під зведенням до зірчастої формі мають на увазі процес побудови багатогранника з іншого багатогранника шляхом розширення його граней. Для цього через грані початкового багатогранника проводять площини, розглядають різноманітні ребра, отримані внаслідок перетину цих площин, і вибирають відповідні.

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — М. : Мир, 1974. — 236 с. (рос.)
• Гончар В. В. Модели многогранников. — М. : Аким, 1997. — 64 с. — ISBN 5-85399-032-2. (рос.)
• Гончар В. В. Модели многогранников. — Ростов-на-Дону : Феникс, 2010. — 143 с. — ISBN 978-5-222-17061-8. (рос.)
• Сoxeter H. S. M., Longuet-Higgins M. S., Miller J. C. P. Uniform Polyhedra // Phil. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A, 246. — 1954. — P. 401—450. — DOI:10.1098/rsta.1954.0003.
• Сoxeter H. S. M. Regular Polytopes. 3rd ed. — New York : Dover, 1973. — 321 p. — ISBN 0-486-61480-8.
• Сопов С. П. Доказательство полноты перечня элементарных однородных многогранников // Украинский геометрический сборник. — 1970. — Т. 8 (8 листопада). — С. 139—156. (рос.)

• Зірчасті форми додекаедра і переходи між ними в 3D (за допомогою миші і клавіші 1-4)
• Тривимірні моделі всіх однорідних багатогранників та їх зірчастих форм