Символ Шлефлі

Символ Шлефлі (англ. Schläfli symbol) топологічна характеристика многогранника. У математиці символ Шлефлі застосовується для опису правильних багатокутників, правильних многогранників, і n-многогранників.

Додекаедр - правильний багатогранник з символом Шлефлі {5,3}, який має по три п'ятикутники біля кожної вершини.

Символ Шлефлі названий на честь математика XIX століття Людвіга Шлефлі, який вніс значний внесок в геометрію і інші області.

Побудова

Символ Шлефлі правильного багатокутника {p}, де p — число сторін багатокутника. Отже, {3} правильний трикутник, {4} квадрат. Для правильних зірок число Шлефлі задається як {p/q}, де p — число сторін, а кожна q-та вершина суміжна. Слід зауважити, що p і q будуть взаємно простими числами. Наприклад, {5/2} пентаграма.

Символ Шлефлі позначається у вигляді {p, q, r, … }. Символ Шлефлі правильного многогранника визначається по індукції наступним чином. Визначимо p як число сторін 2-вимірної грані. Зафіксуємо тепер якусь вершину P многогранника Γ і розглянемо всі вершини Γ, з'єднані з нею ребром. Всі ці вершини лежать в одній гіперплощині H (ортогональної до осі, що з'єднує центр многогранника з вершиною P) і перетин Γ H многогранника Γ гіперплощиною H являє собою правильний многогранник на 1 меншої розмірності. Оскільки всі вершини Γ рівноправні, то тип цього многогранника не залежить від вибору вершини P. Визначимо тепер q як число сторін 2-вимірної грані многогранника Γ H. Продовжуючи діяти таким чином доти, поки отримуваний перетин має двовимірну грань, ми отримаємо символ Шлефлі Γ. Таким чином, символ Шлефлі n-вимірного многогранника складається з n-1 цілих чисел ≥ 3.

Можливе інше визначення для 3-вимірних многогранників: многогранник, який має q p-сторонніх граней при вершині представляється як {p, q}. Наприклад, куб має 3 квадрати при вершині і представляється як {4,3}.

Правильний 4-вимірний політоп (4-многогранник) з r правильними {p, q}-багатогранними комірками при ребрі представляється як {p, q,r}. І далі застосовуємо індукцію для більшої кількості вимірів.

Приклади

Розмірність
простору
Символ Шлефлі Многогранник
3 {3,3} Тетраедр
3 {4,3} Куб
3 {3,4} Октаедр
3 {3,5} Ікосаедр
3 {5,3} Додекаедр
4 {3,3,3} 5-комірник (4-симплекс)
4 {4,3,3} 8-комірник (4-куб)
4 {3,3,4} 16-комірник
4 {3,4,3} 24-комірник
4 {5,3,3} 120-комірник
4 {3,3,5} 600-комірник
≥ 5 {3, …, 3} n-симплекс
≥ 5 {3, …, 3,4} Гіпероктаедр
≥ 5 {4,3, …, 3} Гіперкуб

Див. також

Посилання

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.