Класи Бера

Класи Бера — множини дійснозначних функцій, означені індуктивно, введені Рене-Луі Бером в 1899 році.

Означення

Надалі розглядаємо функції , де  — метричний простір.

Нумерація класів Бера не обмежується натуральними числами, і може бути продовжена за допомогою трансфінітних чисел.

Властивості

Надалі  порядкове число.

  • Лінійна комбінація, добуток та частка функцій з класу Бера з номером не вище ніж теж належать до класу Бера з номером не вище ніж .
  • Рівномірно збіжна послідовність функцій з класів з номером не більше ніж має границю з класу Бера з номером не більше ніж .
  • Похідна довільної диференційовної функції належить або класу Бера 0 або класу Бера 1.
  • Функція Діріхле належить до класу Бера 2.
  • Кожен клас Бера — непорожній.
  • Існують функції, що не належать до жодного класу Бера.
  • Множина берівських функцій (множина функцій, що належать до якогось класу Бера) збігається з множиною Борелівських функцій.
  • Всі берівські функції вимірні.
  • Кожна вимірна функція (за Лебегом) еквівалентна (тобто відрізняється на множині міри нуль) функції з класу Бера не вище ніж 2.
  • Розривна функція належить до першого класу Бера тоді й лише тоді, коли вона має точку неперервності на кожній досконалій множині.

Посилання

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.