Функція Діріхле

Функція Діріхле не є інтегровною за Ріманом в жодній області інтегрування, оскільки для будь-якого розбиття Z на області інтегрування всі проміжки розбиття ${\displaystyle \left[x_{k-1},x_{k}\right]}$ містять як раціональні, так і ірраціональні числа і тому нижня сума рівна

${\displaystyle U(Z)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\cdot \inf _{x_{k-1}<x<x_{k}}f(x)=0,}$

а верхня сума рівна

${\displaystyle O(Z)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\cdot \sup _{x_{k-1}<x<x_{k}}f(x),}$

що дорівнює довжині області інтегрування. Оскільки дані твердження виконуються для будь-якого розбиття то границя нижньої суми, при прямуванні довжини найбільшого проміжку розбиття до нуля, не рівна границі верхньої. Отже функція не є інтегровною.

Функція Діріхле є простою, тобто набуває скінченної кількості значень, тому маємо рівність для інтеграла в області ${\displaystyle I\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{I}D(x)\,d\lambda (x)=0\cdot \lambda (I\cap \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )+1\cdot \lambda (I\cap \mathbb {Q} )}$,

де ${\displaystyle \lambda (x)}$ позначає міру Лебега.

Оскільки ${\displaystyle \lambda (I\cap \mathbb {Q} )}$ як підмножина раціональних чисел має міру нуль, то також весь інтеграл рівний нулю:

${\displaystyle \int _{I}D(x)\,d\lambda (x)=0.}$