Компланарність

Якщо ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}},{\vec {d}}}$ — вектори простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Тоді справедливі твердження:

• Мішаний добуток компланарних векторів ${\displaystyle \left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)=0}$. Це критерій компланарності трьох векторів.
• Компланарні вектори — лінійно залежні. Існують дійсні числа ${\displaystyle \;\lambda _{1},\lambda _{2}}$ такі, що ${\displaystyle {\vec {a}}=\lambda _{1}{\vec {b}}+\lambda _{2}{\vec {c}}}$ для компланарних ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$, за виключенням ${\displaystyle {\vec {b}}={\vec {0}}}$ чи ${\displaystyle {\vec {c}}={\vec {0}}}$. Це критерій компланарності векторів.
• В 3-мірному просторі 3 некомпланарних вектори ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$ утворюють базис. Довільний вектор ${\displaystyle {\vec {d}}}$ можна подати у вигляді: ${\displaystyle {\vec {d}}=x_{1}{\vec {a}}+x_{2}{\vec {b}}+x_{3}{\vec {c}}}$. Тоді ${\displaystyle \;\{x_{1},x_{2},x_{3}\}}$ будуть координатами ${\displaystyle {\vec {d}}}$ в даному базисі.

Іноді компланарними називають ті точки (або інші об'єкти), які лежать на (належать) одній площині. Три точки визначають площину і, тим самим, завжди (тривіально) компланарність. 4 точки, в загальному випадку (в загальному положенні), не компланарні.