Комірки Бенара

Важливим у задачі про конвекцію в плоскому шарі є той факт, що для запису її в наближенні Бусінеска можливо отримати точний аналітичний розв'язок рівнянь гідродинаміки. Правда, простий точний розв'язок вдається знайти лише при абстрактній постановці з двома вільними недеформованими межами шару (як зверху, так і знизу), реалістичніші варіанти таких розв'язків не мають (але для них добре працюють наближені аналітичні методи, наприклад метод Гальоркіна).

Наведемо тут розв'язок задачі[3][4]. Приймемо, що вісь z спрямована вгору, перпендикулярно до шару, осі x і y паралельні границям. Початок координат зручно вибрати на нижній межі шару. Вихідні рівняння конвекції:

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p+\nu \Delta {\vec {v}}-\beta T{\vec {g}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla T=\chi \Delta T,}$

${\displaystyle \operatorname {div} \;{\vec {v}}=0.}$

Безрозмірна форма рівнянь конвекції для малих збурень рівноваги, в припущенні експоненціального зростання збурень у часі (т. з. «нормальні» обурення) — ${\displaystyle {\vec {v}},\theta \sim e^{\lambda t}}$:

${\displaystyle {\frac {\lambda }{Pr}}{\vec {v}}=-\nabla p+\Delta {\vec {v}}+Ra\theta {\vec {e}}_{z},}$

${\displaystyle \lambda \theta =\Delta \theta +{\vec {v}}\cdot {\vec {e}}_{z},}$

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0,}$

де ${\displaystyle {\vec {e}}_{z}}$ — одиничний вектор осі z, ${\displaystyle Pr,Ra}$ — відповідно число Прандтля та число Релея, ${\displaystyle \lambda }$ — інкремент наростання (швидкість росту) збурень. Після обезрозмірювання змінна z змінюється від 0 до 1. Так звані «нормальні» збурення є частковими розв'язками лінійної системи диференціальних рівнянь, і тому знаходять широке застосування при дослідженні задач у дуже різних областях.

Постановка граничних умов робиться в припущенні, що обидві границі не деформуються, але вільні — при цьому відсутні дотичні напруження в рідині. Граничні умови:

${\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {e}}_{z}=0}$, — недеформованість границь.

${\displaystyle \sigma _{xz}=\sigma _{yz}=0}$, — відсутність дотичних напружень. Оскільки вважаємо, що працюємо з рідиною, для якої справедливо рівняння Нав'є-Стокса, то можемо явно записати вигляд тензора в'язких напруг і отримати граничні умови для компонент швидкості.

${\displaystyle \sigma _{ij}=\eta \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$ — закон Нав'є,

Приймаючи позначення для компонент швидкості: ${\displaystyle {\vec {v}}=\left\{u,v,w\right\}}$, перепишемо граничну умову для дотичних напружень у термінах швидкості:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial z}}=0,}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial z}}=0}$.

Для збурень температури на границях приймається нульове значення. У результаті, система граничних умов завдання така:

${\displaystyle z=0,1:}$

${\displaystyle w=0;{\frac {\partial u}{\partial z}}={\frac {\partial v}{\partial z}}=0;\theta =0}$

Тепер, припускаючи збурення нормальними по простору — ${\displaystyle {\vec {v}},p,\theta \sim e^{\lambda t}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}}$ (тут ${\displaystyle {\vec {k}}}$ — хвильовий вектор збурення, паралельний площині ${\displaystyle xy}$) і замінюючи оператори диференціювання — ${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-k^{2},\nabla =\left\{i{\vec {k}};{\frac {\partial }{\partial z}}\right\}}$, можемо переписати систему рівнянь конвекції у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь:

${\displaystyle {\frac {\lambda }{Pr}}{\vec {v}}=-\nabla p+\Delta {\vec {v}}+Ra\theta {\vec {e}}_{z},}$

${\displaystyle \lambda \theta =\Delta \theta +w,}$

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0.}$

Взявши подвійний ротор від першого рівняння і спроектувавши його на вісь z, отримаємо остаточну систему рівнянь для збурень:

${\displaystyle {\frac {\lambda }{Pr}}\Delta w=\Delta ^{2}w+k^{2}Ra\theta ,}$

${\displaystyle \lambda \theta =\Delta \theta +w.}$

Виходячи з граничних умов, а також з того, що всі похідні в системі парного порядку, зручно представити рішення у вигляді тригонометричних функцій:

${\displaystyle w=a\sin \;n\pi z,}$

${\displaystyle \theta =b\sin \;n\pi z,}$

де n — ціле число. Рішення у вигляді синусів задовольняє одразу всім граничним умовам.

Типова нейтральна крива для задачі конвекції в плоскому шарі

Далі, позначаючи ${\displaystyle D=n^{2}\pi ^{2}+k^{2}}$, і підставляючи передбачуваний вид розв'язку в рівняння, отримаємо лінійну однорідну алгебраїчну систему для a, b. З її визначника можна виразити залежність ${\displaystyle Ra(\lambda )}$:

${\displaystyle Ra(\lambda )={\frac {1}{Prk^{2}}}\left(D\lambda ^{2}+D^{2}(1+Pr)\lambda +PrD^{3}\right)}$

Приймаючи тут ${\displaystyle \lambda =0}$ — границя монотонної стійкості, незростання нормальних збурень — отримаємо формулу для визначення критичного числа Релея n-ї моди збурень:

${\displaystyle Ra^{*}={\frac {(k^{2}+n^{2}\pi ^{2})^{3}}{k^{2}}}.}$

Найменше число Релея вийде при ${\displaystyle n=1}$. Мінімум залежності, як нескладно переконатися, припадає на ${\displaystyle k={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}$, а мінімальне число Релея дорівнює ${\displaystyle Ra^{*}={\frac {27}{4}}\pi ^{4}\approx 657}$. Згідно з критичним хвильовим числом у шарі виникають структури у вигляді валів ширини ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ (у безрозмірних одиницях).

Для задач з іншими варіантами границь критичне число Релея виявляється вищим. Наприклад, для шару з двома твердими межами воно дорівнює 1708 [5], для шару з твердою верхньою та нижньою вільною межами — 1156, змінюються і критичні хвильові числа. Однак якісно картина конвективних валів не змінюється.

• Самоорганізація
• Конвекція
• Наближення Бусінеска

• Альбом течій рідини і газу. ІМ МДУ