Конциклічні точки

Вершини кожного трикутника лежать на колі[3]. Коло, що проходить через 3 вершини трикутника, називається описаним колом трикутника. Кілька інших наборів точок, які визначаються з трикутника, також лежать на одному колі, тобто є конциклічними точками; див. Коло дев'яти точок[4] і коло Лестер.[5]

Радіус кола, на якому міститься множина точок, за визначенням, є радіусом описаного кола будь-якого трикутника з вершинами в будь-яких трьох з цих точок. Якщо попарні відстані між будь-якими трьома з цих точок a, b і c, то радіус кола дорівнює

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}.}$

Рівняння описаного кола для трикутника, і вираз для радіуса і координат центру кола через декартові координати вершин наведено тут.

Чотирикутник ABCD з вершинами, що лежать на одному колі, називається вписаним; це буває тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \angle CAD=\angle CBD}$ (за теоремою про кут, вписаний у коло), що виконується тоді і тільки тоді, коли протилежні кути чотирикутника доповнюють один одного до 180°.[6] Вписаний чотирикутник з послідовними сторонами a, b, c, d і півпериметром s = (a+b+c+d)/2 має радіус описаного кола, рівний[7][8]

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.}$

Цей вираз отримав індійський математик Ватассері Парамешвара в XV столітті.

За теоремою Птолемея, чотирикутник, заданий попарними відстанями між його чотирма вершинами A, B, C і D відповідно, буде вписаним тоді і тільки тоді, коли добуток його діагоналей дорівнює сумі добутків протилежних сторін:

${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.}$

Якщо дві прямі, одна з яких містить відрізок AC, а інша містить відрізок BD, перетинаються в одній точці «Х», то ці чотири точки A, B, C, D є конциклічними точками тоді і тільки тоді, коли[9]

${\displaystyle \displaystyle AX\cdot XC=BX\cdot XD.}$

Точка перетину X може бути як всередині, так і поза описаним колом. Ця теорема відома як теорема про степінь точки.

У загальному випадку n-кутник, усі вершини якого лежать на одному колі, називається вписаним многокутником. Многокутник є вписаним многокутником, якщо і тільки якщо всі серединні перпендикуляри його сторін перетинаються в одній точці.[10]