Кофібрація

Неперервне відображення ${\displaystyle i\colon A\to X}$ називається кофібрацією, якщо для всіх топологічних просторів Y і неперервних відображень

${\displaystyle f\colon X\to Y,h\colon A\times \left[0,1\right]\to Y}$

для яких

${\displaystyle f\circ i=h\circ i_{0}}$ на просторі A

(де ${\displaystyle i_{0}(x)=(x,0)}$ позначає включення ${\displaystyle i_{0}\colon A\to A\times \left[0,1\right]}$) існує продовження гомотопії

${\displaystyle {\overline {h}}\colon X\times \left[0,1\right]\to Y}$

тобто

${\displaystyle {\overline {h}}\circ (i\times id)=h}$

і

${\displaystyle {\overline {h}}|_{X\times \{0\}}=f\circ \pi _{X}}$

(де ${\displaystyle \pi _{X}:X\times \{0\}\to X}$ є проєкцією).

Якщо розглядати простори із виділеними точками і відображення між ними, то в означенні усі гомотопії мають зберігати виділені точки.

Якщо ${\displaystyle i\colon A\to X}$ є включенням ${\displaystyle A\subset X}$ (а це насправді є справедливим для всіх кофібрацій) то воно є кофібрацією тоді і тільки тоді коли відображення

${\displaystyle p\colon X\times \left[0,1\right]\to A\times \left[0,1\right]\cup X\times \left\{0\right\}}$

є ретракцією.

• Включення гіперсфери у кулю відповідної розмірності

${\displaystyle S^{n-1}\to D^{n}}$

є кофібрацією.

• Для будь-якого CW-комплекса включення підкомплекса є кофібрацією.

• Довільна кофібрація ${\displaystyle f\colon A\to X}$ є ін'єкцією і гомеоморфізмом на образ відображення. Тобто кожна кофібрація є включенням підпростору.

Нехай ${\displaystyle M_{f}}$ є циліндром відображення. Нехай ${\displaystyle H_{t}:A\to M_{f}}$ є гомотопією при якій образом ${\displaystyle (a,t)}$ є образ цієї точки у ${\displaystyle M_{f}.}$ Нехай також ${\displaystyle {\bar {H}}_{0}:X\to M_{f}}$ є включенням простору X у циліндр відображення. Згідно властивості кофібрації тоді існує гомотопія ${\displaystyle {\bar {H}}_{t}:X\to M_{f}}$ для якої ${\displaystyle {\bar {H}}_{t}\circ f=H_{t}.}$ Оскільки для довільного t > 0 відображення ${\displaystyle H_{t}}$ є ін'єктивним, то і ${\displaystyle f}$ є ін'єкцією. Окрім того у цьому випадку ${\displaystyle H_{t}}$ є гомеоморфізмом на ${\displaystyle A\times t}$ і ${\displaystyle H_{t}^{-1}\circ {\bar {H}}_{t}}$ є неперервним відображенням оберненим до f. Тож f є гомеоморфізмом між A і f(A).

• Як показано у статті Властивість розширення гомотопії, якщо додатково простір X є гаусдорфовим, то також f(A) є замкнутим підпростором у X.
• Якщо включення ${\displaystyle f\colon A\to X}$ є кофібрацією, то конус відображення ${\displaystyle C_{f}}$ є гомотопно еквівалентним фактор-простору ${\displaystyle X/A}$ і

${\displaystyle H_{*}(X,A)=H_{*}(C_{f})=H_{*}(X/A)}$.

• Як продемонстровано у статті Циліндр відображення, кожне неперервне відображення ${\displaystyle f:X\to Y}$ є композицією ${\displaystyle X\xrightarrow {\bar {f}} M_{f}\xrightarrow {h} Y,}$ де ${\displaystyle {\bar {f}}}$ є кофібрацією, а ${\displaystyle h}$ — гомотопною еквівалентністю. Таким чином для топологічних властивостей які не залежать від гомотопно еквівалентних просторів чи відображень, ці властивості можна перевіряти лише для кофібрацій, а не усіх відображень.

• Властивість розширення гомотопії
• Циліндр відображення

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
• Maunder, Charles Richard Francis (1980). Algebraic topology. Cambridge University Press. ISBN 9780521231619.
• Whitehead, George W.: Elements of homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics, 61. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978. ISBN 0-387-90336-4