Властивість розширення гомотопії

У математиці в області алгебричної топології властивість розширення гомотопії (або властивість продовження гомотопії) вказує, які гомотопії, задані на підпросторі, можуть бути розширені до гомотопії, заданої на більшому просторі. Властивість подовження гомотопії кофібрацій є двоїстою властивості підняття гомотопії, яка використовується для означення фібрацій .

Означення

Нехай є топологічним простором і нехай Пара просторів має властивість розширення гомотопії, якщо, для гомотопії і неперервного відображення для якого існує розширення таке, що

Тобто, пара має властивість розширення гомотопії, якщо відображення можна поширити на відображення (тобто і є рівними там де вони обидва є визначеними).

Якщо пара має таку властивість лише для певного кодомену то кажуть, що має властивість розширення гомотопії щодо

Візуалізація

Властивість розширення гомотопії зображена на наступній схемі:

Якщо ця діаграма (без пунктирної стрілки) є комутативною (що еквівалентно умовам, наведеним вище), то пара має властивість розширення гомотопії, якщо існує відображення що робить усю діаграму комутативною. За допомогою каррінга відображення відповідає відображенню

Діаграма вище є двоїстою діаграмі властивості підняття гомотопії. Ця двоїстість називається двоїстістю Екмана-Хілтона.

Властивості

  • Якщо є клітинним комплексом і його підкомплексом, то пара задовольняє властивість розширення гомотопії.
  • Пара має властивість розширення гомотопії, тоді і лише тоді коли є ретрактом
Якщо дана пара має властивість розширення гомотопії, то тотожне відображення можна продовжити на деяке відображення Отже є ретрактом
Навпаки, якщо існує ретракція то будь-яке відображення можна продовжити до відображення як Тому пара має властивість розширення гомотопії.
  • Якщо пара має властивість розширення гомотопії і X є гаусдорфовим простором, то A є замкнутою підмножиною простору X.
Справді, якщо є ретракцією, то її образ є також підпростором у для точок якого Оскільки X (а тому і ) є гаусдорфовим простором то є замкнутою підмножиною у тож A є замкнутою підмножиною простору X.
  • Якщо пара має властивість розширення гомотопії, то для будь-якого топологічного простору Y пара теж має властивість розширення гомотопії.
  • Якщо пара має властивість продовження гомотопії і є стягуваним простором, то відображення факторизації є гомотопною еквівалентністю.
Нехай є гомотопією, що продовжує гомотопію стягнення підпростору A у точку, де є тотожним відображенням. Оскільки то композиція переправляє A у точку і тому її можна записати також як і тому можна записати
Для t = 1 за означенням є точкою до якої стягується A і тому породжує відображення для якого Також оскільки Відображення g і q є гомотопно оберненими оскільки через гомотопію і через гомотопію а за означеннями і є тотожніми відображеннями на просторах і
  • Якщо має властивість розширення гомотопії, то включення є кофібрацією. Насправді, якщо врахувати будь-яку кофібрацію то є гомеоморфним його образу при відображенні Це означає, що будь-яка кофібрація може розглядатися як відображення включення, що має властивість розширення гомотопії.
  • Якщо і є парами просторів із властивістю гомотопного продовження і є гомотопною еквівалентністю, що є тотожним відображенням на то є гомотопною еквівалентністю відносно


Див. також

Література

  • Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
  • Maunder, Charles Richard Francis (1980). Algebraic topology. Cambridge University Press. ISBN 9780521231619.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.