Конус відображення

У математиці , особливо теорії гомотопії , конус відображення є конструкцією визначеною для кожного неперервного відображення між топологічними просторами. Конус відображення можна розглядати як циліндр відображення , один кінець якого стискується до точки. Конуси відображення часто застосовуються у теорії гомотопії просторів із виділеною точкою.

Означення

Нехай є неперервним відображенням між топологічними просторами. Конус відображення є фактор-простором циліндра відображення згідно відношення еквівалентності , на X. Тут позначає одиничний відрізок [0,1] із стандартною топологією.

Для відображення просторів із виділеною точкою (при якому ), також відбувається ідентифікація всіх точок виду ; тобто,

Подвійний циліндр відображення

Конус відображення є окремим випадком подвійного циліндра відображення. Цей простір є циліндром один кінець якого приєднується до через неперервне відображення

а інший кінець до простору через неперервне відображення

Конус відображення є прикладом подвійного циліндра відображення для якого один із просторів є одноточковим.

Приклади

  • Якщо є колом , конус відображення можна розглядати як фактор-простір диз'юнктного об'єднання Y із кругом через ідентифікацію точок x на границі круга із точками у Y.
  • Нехай, наприклад, Y є кругом і є стандартним включенням як границі . Тоді конус відображення є гомеоморфним двом кругам склеєним на по їх границях, тобто гомеоморфним сфері .
  • Якщо є відображенням склеювання у CW-комплексі , де позначає -скелет, то конус є гомеоморфним -скелету .
  • Для топологічного простору X і петлі що представляє елемент фундаментальної групи простору X, можна побудувати конус відображення . При цьому петлю можна стягнути у і тому клас еквівалентності у фундаментальній групі простору буде одиничним елементом. Для групи заданої породжуючими елементами і їх відношеннями таким чином можна одержати 2-комплекс із цією фундаментальною групою.
  • Відображення між однозв'язними CW-комплексами є гомотопною еквівалентністю тоді і тільки тоді коли його конус відображення є стягуваним. Більш загально, відображення називається n-зв'язним якщо його конус відображення є n-зв'язним простором.

[1]

Властивості

  • Простір є підпростором , оскільки відображення факторизації на просторі є ін'єктивним.
  • Якщо є ін'єктивним і відносно відкритим, тобто гомеоморфізмом тоді конус і відповідно є підпросторами .
  • Для тотожного відображення , конус і конус відображення є гомеоморфними: .

Всі вказані властивості є також справедливими для просторів із виділеними точками.

  • Якщо є просторами із виділеними точками і є константою, то , де позначає редуковану надбудову простору , а є букетом просторів.
  • Редукований конус відображення є гомотопно еквівалентним звичайному конусу відображення.
  • Нехай є гомологією. Відображення породжує ізоморфізми на , якщо і тільки якщо відображення породжує ізоморфізми на , тобто .
  • За допомогою конуса відображення можна інтерпретувати гомологію пари просторів, як редуковану гомологію фактор-простору. А саме, якщо H є гомологією і є кофібрацією, то
    .[2]
  • Якщо відображення є гомотопними, то конуси відображення і є гомотопно еквівалентними.
  • Якщо є підпростором і є кофібрацією, то є гомотопно еквівалентним фактор-простору і для просторів із виділеними точками всі гомотопії є із збереженням виділених точок.
  • Вкладення завжди є кофібрацією. Конус цього відображення таким чином є гомотопно еквівалентним простору де позначає надбудову простору . Для просторів із виділеними точками конус цього відображення є гомотопно еквівалентним редукованій надбудові
  • Для просторів із виділеними точками відображення і довільного простору із виділеною точкою послідовність на класах гомотопії:
є точною. У даному випадку це означає, що образ відображення що переводить клас гомотопії відображення із у (із збереженням виділених точок) у клас гомотопії належить прообразу тобто є константою, що переводить увесь простір у виділену точку
  • Із попередніх властивостей випливає, що відображення породжує точну послідовність на класах гомотопії для довільного простору із виділеною точкою :

Див. також

Примітки

  1. Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521795401.
  2. May, J. Peter (1999). A Concise Course in Algebraic Topology. Chicago Lectures in Mathematics. See Chapter 6. ISBN 0-226-51183-9.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.