Конус відображення

Нехай ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ є неперервним відображенням між топологічними просторами. Конус відображення ${\displaystyle C_{f}}$ є фактор-простором циліндра відображення ${\displaystyle (X\times I)\sqcup _{f}Y}$ згідно відношення еквівалентності ${\displaystyle (x,0)\sim (x',0)\,}$, ${\displaystyle (x,1)\sim f(x)\,}$ на X. Тут ${\displaystyle I}$ позначає одиничний відрізок [0,1] із стандартною топологією.

Для відображення просторів із виділеною точкою ${\displaystyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0}),}$ (при якому ${\displaystyle f\colon x_{0}\mapsto y_{0}}$), також відбувається ідентифікація всіх точок виду ${\displaystyle {x_{0}}\times I}$; тобто, ${\displaystyle (x_{0},t)\sim (x_{0},t')\,.}$

• Якщо ${\displaystyle X}$ є колом ${\displaystyle S^{1}}$, конус відображення ${\displaystyle C_{f}}$ можна розглядати як фактор-простір диз'юнктного об'єднання Y із кругом ${\displaystyle D^{2}}$ через ідентифікацію точок x на границі круга ${\displaystyle D^{2}}$ із точками ${\displaystyle f(x)}$ у Y.

• Нехай, наприклад, Y є кругом ${\displaystyle D^{2}}$ і ${\displaystyle f\colon S^{1}\to Y=D^{2}}$ є стандартним включенням ${\displaystyle S^{1}}$ як границі ${\displaystyle D^{2}}$. Тоді конус відображення ${\displaystyle C_{f}}$ є гомеоморфним двом кругам склеєним на по їх границях, тобто гомеоморфним сфері ${\displaystyle S^{2}}$.
• Якщо ${\displaystyle \textstyle f\colon \coprod _{i\in I}S_{i}^{n}\rightarrow X_{n}}$ є відображенням склеювання у CW-комплексі ${\displaystyle X}$, де ${\displaystyle X_{n}}$ позначає ${\displaystyle n}$-скелет, то конус ${\displaystyle Cf}$ є гомеоморфним ${\displaystyle (n+1)}$-скелету ${\displaystyle X_{n+1}}$.
• Для топологічного простору X і петлі ${\displaystyle \alpha \colon S^{1}\to X,}$ що представляє елемент фундаментальної групи простору X, можна побудувати конус відображення ${\displaystyle C_{\alpha }}$. При цьому петлю ${\displaystyle \alpha }$ можна стягнути у ${\displaystyle C_{\alpha }}$ і тому клас еквівалентності ${\displaystyle \alpha }$ у фундаментальній групі простору ${\displaystyle C_{\alpha }}$ буде одиничним елементом. Для групи заданої породжуючими елементами і їх відношеннями таким чином можна одержати 2-комплекс із цією фундаментальною групою.
• Відображення ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ між однозв'язними CW-комплексами є гомотопною еквівалентністю тоді і тільки тоді коли його конус відображення є стягуваним. Більш загально, відображення називається n-зв'язним якщо його конус відображення є n-зв'язним простором.

[1]

• Простір ${\displaystyle Y}$ є підпростором ${\displaystyle C_{f}}$, оскільки відображення факторизації ${\displaystyle CX\sqcup Y\to C_{f}}$ на просторі ${\displaystyle Y}$ є ін'єктивним.

• Якщо ${\displaystyle f}$ є ін'єктивним і відносно відкритим, тобто гомеоморфізмом тоді конус ${\displaystyle CX}$ і відповідно ${\displaystyle X}$ є підпросторами ${\displaystyle C_{f}}$.
• Для тотожного відображення ${\displaystyle id\colon X\rightarrow X;x\mapsto x}$, конус і конус відображення є гомеоморфними: ${\displaystyle C_{id}\cong CX}$.

Всі вказані властивості є також справедливими для просторів із виділеними точками.

• Якщо ${\displaystyle X;Y}$ є просторами із виділеними точками і ${\displaystyle f\equiv y_{0}}$ є константою, то ${\displaystyle C_{f}\cong \Sigma X\vee Y}$, де ${\displaystyle \Sigma X}$ позначає редуковану надбудову простору ${\displaystyle X}$, а ${\displaystyle \vee }$ є букетом просторів.
• Редукований конус відображення є гомотопно еквівалентним звичайному конусу відображення.

• Нехай ${\displaystyle \mathbb {} H_{*}}$ є гомологією. Відображення ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ породжує ізоморфізми на ${\displaystyle H_{*}}$, якщо і тільки якщо відображення ${\displaystyle \{pt\}\hookrightarrow C_{f}}$ породжує ізоморфізми на ${\displaystyle H_{*}}$, тобто ${\displaystyle H_{*}(C_{f},pt)=0}$.
• За допомогою конуса відображення можна інтерпретувати гомологію пари просторів, як редуковану гомологію фактор-простору. А саме, якщо H є гомологією і ${\displaystyle i\colon A\to X}$ є кофібрацією, то

  ${\displaystyle H_{*}(X,A)=H_{*}(X/A,*)={\tilde {H}}_{*}(X/A)}$.[2]

• Якщо відображення ${\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y}$ є гомотопними, то конуси відображення ${\displaystyle C_{f}}$ і ${\displaystyle C_{g}}$ є гомотопно еквівалентними.
• Якщо ${\displaystyle A\subseteq X}$ є підпростором і ${\displaystyle i\colon A\hookrightarrow X}$ є кофібрацією, то ${\displaystyle C_{i}}$ є гомотопно еквівалентним фактор-простору ${\displaystyle X/A}$ і для просторів із виділеними точками всі гомотопії є із збереженням виділених точок.
• Вкладення ${\displaystyle j\colon Y\hookrightarrow C_{f}}$ завжди є кофібрацією. Конус цього відображення таким чином є гомотопно еквівалентним простору ${\displaystyle C_{f}/Y\cong SX,}$ де ${\displaystyle SX}$ позначає надбудову простору ${\displaystyle X}$. Для просторів із виділеними точками конус цього відображення є гомотопно еквівалентним редукованій надбудові ${\displaystyle \Sigma X.}$
• Для просторів із виділеними точками відображення ${\displaystyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$ і довільного простору із виділеною точкою ${\displaystyle (Z,z_{0})}$ послідовність на класах гомотопії:

  ${\displaystyle [C_{f},Z]\xrightarrow {j^{*}} [Y,Z]\xrightarrow {f^{*}} [X,Z]}$

є точною. У даному випадку це означає, що образ відображення ${\displaystyle j^{*},}$ що переводить клас гомотопії відображення ${\displaystyle g}$ із ${\displaystyle C_{f}}$ у ${\displaystyle Z}$ (із збереженням виділених точок) у клас гомотопії ${\displaystyle g\circ j}$ належить прообразу ${\displaystyle f^{*},}$ тобто ${\displaystyle g\circ j\circ f}$ є константою, що переводить увесь простір ${\displaystyle X}$ у виділену точку ${\displaystyle z_{0}.}$

• Із попередніх властивостей випливає, що відображення ${\displaystyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$ породжує точну послідовність на класах гомотопії для довільного простору із виділеною точкою ${\displaystyle (Z,z_{0})}$:

  ${\displaystyle \dots \rightarrow [\Sigma Y,Z]\rightarrow [\Sigma X,Z]\rightarrow [C_{f},Z]\rightarrow [Y,Z]\rightarrow [X,Z]}$

• Кофібрація
• Циліндр відображення

1. Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521795401.
2. May, J. Peter (1999). A Concise Course in Algebraic Topology. Chicago Lectures in Mathematics. See Chapter 6. ISBN 0-226-51183-9.