Циліндр відображення

Нехай ${\displaystyle f}$ є неперервною функцією між топологічними просторами ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y.}$

Циліндром відображення називається фактор-простір

${\displaystyle M_{f}=(([0,1]\times X)\amalg Y)\,/\,\sim }$

де ${\displaystyle \amalg }$ позначає диз'юнктне об'єднання, а ∼ позначає відношення еквівалентності породжене

${\displaystyle (0,x)\sim f(x)\quad \forall x\in X.}$

Інтуїтивно циліндр відображення ${\displaystyle M_{f}}$ одержується склеюванням одного кінця ${\displaystyle X\times [0,1]}$ до ${\displaystyle Y}$ через відображення ${\displaystyle f}$. Таким чином верх циліндра ${\displaystyle \{1\}\times X}$ є гомеоморфним простору ${\displaystyle X}$, а "низ" є простором ${\displaystyle f(X)\subset Y}$.

Якщо ${\displaystyle f}$ є відображеням із збереженням виділених точок (тобто ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$ для відповідних виділених точок), то розглядається також редукований циліндр відображення який є фактор-простором звичайного циліндра відображення по підпростору ${\displaystyle [0,1]\times x_{0}.}$ Редукований циліндр є природно простором із виділеною точкою якою є точка, що відповідає підпростору ${\displaystyle [0,1]\times x_{0}}$ і виділеній точці ${\displaystyle y_{0}.}$ Як правило для редукованого циліндра відображення використовується те ж позначення, що і для звичайного і те який саме використовується є зрозуміло із контексту (в залежності чи розглядається категорія топологічних просторів чи топологічних просторів із виділеною точкою).

Іноді для позначення циліндра відображення використовується позначення ${\displaystyle Mf,}$ а для позначення самої конструкцій використовуються символи ${\displaystyle \sqcup _{f}}$ або ${\displaystyle \cup _{f}}$.

Циліндри відображень використовуються в означенні конусів відображень і кофібрацій.

• Підпростір Y є сильним деформаційним ретрактом циліндра ${\displaystyle M_{f}}$.

Справді розглянемо тотожне відображення на Y і відображення на ${\displaystyle [0,1]\times X}$ при якому образом усіх точок ${\displaystyle (t,x)}$ є f(x). Ці два відображення породжують відображення ${\displaystyle h:M_{f}\to Y.}$ Це відображення є ретракцією.

Відображення сильної деформаційної ретракції задається як:

${\displaystyle R(y,s)=y}$ для точок, що належать підпростору ${\displaystyle Y\subset M_{f}}$

${\displaystyle R((t,x),s)=(s\cdot t,x)}$ для точок, що належать підпростору ${\displaystyle [0,1]\times X\subset M_{f}}$

Відображення R є коректно визначеним оскільки для ${\displaystyle y=f(x)}$ маємо ${\displaystyle R(y,s)=y=(0,x)=R((0,x),s).}$ Також R є неперервним відображенням і є гомотопією від одиничного відображення на ${\displaystyle M_{f}}$ до введеного вище відображення ${\displaystyle h:M_{f}\to Y.}$

За означенням точки із ${\displaystyle Y}$ при R залишаються фіксованими і тому R є сильною деформаційною ретракцією.

При цьому доведенні можна розглядати відображення і гомотопії із збереженням виділеної точки, тому твердження є справедливим і для редукованого циліндра відображення із відповідними модифікаціями означень.

• Відображення ${\displaystyle f:X\to Y}$ є гомотопною еквівалентністю якщо і тільки якщо "верх" ${\displaystyle \{1\}\times X}$ є сильним деформаційним ретрактом циліндра ${\displaystyle M_{f}}$.[2] Відображення сильної деформаційної ретракції можна задати явною формулою.[3]

Циліндр відображення можна розглядати як спосіб заміни відображення на еквівалентне вкладення просторів, що є кофібрацією.

Для відображення ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ циліндр відображення є простором ${\displaystyle M_{f}}$, разом із кофібрацією ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\to M_{f}}$ і сюр'єктивною гомотопною еквівалентністю ${\displaystyle h:M_{f}\to Y}$, для яких композиція ${\displaystyle X\to M_{f}\to Y}$ є рівною f.

А саме функція ${\displaystyle h:M_{f}\to Y}$ є означена як і вище і є ретракцією із ${\displaystyle M_{f}}$ на ${\displaystyle Y.}$ Оскільки, як було доведено вище Y є сильним деформаційним ретрактом і ${\displaystyle R(M_{f},1)=h(M_{f})}$ (всюди простір Y ідентифікується з відповідним підпростором ${\displaystyle M_{f}}$) то h є гомотопною еквівалентністю для якої гопотопно оберненим є відображення вкладення Y у ${\displaystyle M_{f}.}$

Функцією ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\to M_{f}}$ є вкладення X у ${\displaystyle M_{f}}$ через очевидну ідентифікацію із підпростором ${\displaystyle 1\times X.}$ Тоді ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ є кофібрацією. Справді припустимо, що ${\displaystyle k\colon M_{f}\to A}$ є неперервним відображенням топологічних просторів і ${\displaystyle H\colon X\times I\to A}$ є гомотопією, що починається з ${\displaystyle k\circ {\tilde {f}}.}$

Введемо дві гомотопії ${\displaystyle G_{Y}\colon Y\times I\to A}$ і ${\displaystyle G_{X}\colon (X\times I)\times I\to A}$ задані як:

${\displaystyle G_{Y}(y,s)=k(y),\ s\in [0,1]}$

${\displaystyle G_{X}((t,x),s)={\begin{cases}k(1-(2(1-t)-s)/(2-s),x),&\ 0\leqslant s\leqslant 2(1-t)\\H(x,s-2(1-t)),&\ 2(1-t)\leqslant s\leqslant 1\end{cases}}}$

${\displaystyle G_{X}}$ є неперервним відображенням оскільки для s = 2(1-t) виконується рівність ${\displaystyle k(1,x)=k\circ {\tilde {f}}(x)=H(x,0).}$

Також ${\displaystyle G_{X}((0,x),s)=k(0,x)\equiv k\circ f(x)=G_{Y}(f(x),s)}$ тому ${\displaystyle G_{Y}}$ і ${\displaystyle G_{X}}$ породжують гомотопію ${\displaystyle G:M_{f}\times I\to A.}$

Очевидно G починається із k і:

${\displaystyle G\circ ({\tilde {f}}\times 1)(x,s)=G((1,x),s)=H(x,s)}$ тому ${\displaystyle G\circ ({\tilde {f}}\times 1)=H}$ і ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ є кофібрацією.

Отже Y можна замінити на гомотопно еквівалентний простір ${\displaystyle M_{f}}$, а f на відображення ${\displaystyle {\tilde {f}}}$.

Тож конструкція циліндра відображення дозволяє замінити довільне відображення між топологічними просторами на гомотопно еквівалентну кофібрацію. Доведення вище можна застосувати як для категорії топологічних просторів і циліндра відображення, так і для просторів із виділеними точками і редукованих циліндрів відображення.

• May, J.P (1999). A Concise Course in Algebraic Topology. The University of Chicago Press. ISBN 978-0-2265-1183-2.