Ретракт
В математиці, а саме в топології ретрактом називають підпростір топологічного простору для якого існує ретракція — неперервне відображення з більшого простору в підпростір, що є тотожним відображенням на підпросторах. Ретракти і їх особливі види, як наприклад деформаційні ретракти і абсолютні ретракти мають важливе застосування в багатьох розділах топології, зокрема теорії гомотопій і теорії гомологій.
Означення
Нехай — топологічний простір і — його підпростір. Неперервне відображення
називається ретракцією якщо звуження функції r на множину є тотожним відображенням на , тобто . Еквівалентно, позначивши
вкладення в , ретракцією r є відображення для якого
Ретрактом топологічного простору називається підпростір цього простору, для якого існує ретракція на .
Пов'язані означення
- Підпростір простору називається околичним ретрактом цього простору, якщо в існує відкритий підпростір, що містить , і для якого є ретрактом.
- Якщо ретракція простору на його підпростір гомотопна тотожному відображенню простору на себе, то називається деформаційним ретрактом простору . Згідно означень в цьому випадку існує неперервне відображення що задовольняє умови Якщо додатково виконується умова то називається сильним деформаційним ретрактом простору
- Метризовний простір називається абсолютним ретрактом (абсолютним околичним ретрактом), якщо він є ретрактом (відповідно околичним ретрактом) будь-якого метризовного простору, для якого є замкнутим підпростором.
Властивості
- Якщо простір є гаусдорфовим, то будь-який ретракт простору є замкнутим в .
- При переході від простору до його ретрактів зберігаються багато важливих властивостей. Зокрема, будь-яка властивість, яка зберігається при переході до неперервного образу, так само як і будь-яка властивість, що успадковується замкнутими підпросторами, зберігається і при переході до ретрактів. Тому компактність, зв'язність, лінійна зв'язність, сепарабельність, обмеження зверху на розмірність, паракомпактність, нормальність, локальна компактність , локальна зв'язність зберігаються при переході до ретрактів.
- Якщо простір має властивість нерухомої точки, тобто для кожного неперервного відображення існує точка така, що , то і кожен ретракт простору має властивість нерухомої точки.
- Поняття ретракту має пряме відношення до питання про можливість продовження неперервних відображень. Так, підпростір простору є його ретрактом в тому і тільки в тому випадку, якщо будь-яке неперервне відображення простору в довільний топологічний простір можна продовжити до неперервного відображення всього простору в .
Властивості деформаційних ретрактів
- Деформаційний ретракт простору гомотопічно еквівалентний цьому простору, тобто має з ним один і той же гомотопічний тип.
- Навпаки, два гомотопічно еквівалентних простори завжди можна вкласти в деякий третій простір таким чином, що обидва вони будуть його деформаційними ретрактами.
Властивості абсолютних ретрактів
- Для того щоб метризовний простір простір був абсолютним ретрактом, необхідно, щоб він був ретрактом деякого опуклого підпростору лінійного нормованого простору, і достатньо, щоб був ретрактом опуклого підпростору локально опуклого лінійного простору.
- Довільний ретракт абсолютного ретракта знову є абсолютним ретрактом.
- Кожен абсолютний ретракт є стягуваним по собі і локально стягуваним.
- Всі редуковані гомологічні, редуковані когомологічіні, гомотопічні і когомотопічні групи абсолютного ретракта є тривіальними.
- Метризовний простір є абсолютним ретрактом в тому і тільки в тому випадку, якщо, які б не були метризовний простір , його замкнутий підпростір і неперервне відображення простору в , його можна продовжити до неперервного відображення всього простору в .
- Метризовний простір є абсолютним ретрактом тоді і тільки тоді коли він є стягуваним і абсолютним околичним ретрактом.
- Абсолютні околичні ретракти є ретрактами відкритих підмножин опуклих підпросторів лінійних нормованих просторів. До їх числа відносяться всі компактні поліедри. Істотною їх властивістю є локальна стягуваність.
- Будь-яка відкрита підмножина абсолютного околичного ретракта є абсолютним околичним ретрактом. Якщо для метризовного простору існує покриття абсолютними околичними ретрактами то і сам простір є абсолютним околичним ретрактом.
- Довільний абсолютний околичний ретракт має тип гомотопії деякого CW-комплекса. Якщо до того ж простір є компактним то він має тип гомотопії скінченного CW-комплекса, а у випадку локальної компактності він має тип гомотопії локально скінченного CW-комплекса. Метризовний прості є абсолютним околичним ретрактом тоді і тільки тоді коли кожна його відкрита підмножина має тип гомотопії деякого CW-комплекса.
Приклади
- Ретракт простору може бути набагато простішим його самого і більш зручним для конкретного дослідження. Так, одноточкова множина є ретрактом відрізка, прямої, площини.
- Будь-яка непорожня замкнута підмножина досконалої множини Кантора є її ретрактом.
- n-вимірна сфера Sn не є ретрактом (n+1)-вимірної кулі Bn+1 евклідового простору, де так як замкнута куля має властивість нерухомої точки (теорема Брауера), а сфера цієї властивості не має.
- Деяка (насправді довільна) точка простору є деформаційним ретрактом тоді і тільки тоді коли простір є стягуваним.
- n-вимірна сфера Sn є сильним деформаційним ретрактом простору Rn+1\{0}; за гомотопне відображення можна взяти відображення
- Всі опуклі підпростори локально опуклих лінійних просторів є абсолютними ретрактами; зокрема, такі як точка, відрізок, куля, пряма. Будь-який нормований простір є абсолютним ретрактом.
- Будь-який топологічний многовид є абсолютним околичним ретрактом.
- Будь-який локально скінченний CW-комплекс є абсолютним околичним ретрактом.