Крива видового накопичення

В наведених нижче функціях S відповідає кількості знайдених видів на кожний момент дослідження, х — дослідницьке зусилля, а, b, c, d — константи, значення яких підбирається при апроксимації, е — основа натурального логарифму.

Ступенева функція[3]

${\displaystyle \quad S=ax^{b}}$

(1)

Логарифмічна модель[2]

${\displaystyle \quad S=a+b\log(x)}$

(2)

Логарифмічна модель для випадку, коли ймовірність знаходження нового виду знижується експоненційно до нуля при збільшенні кількості вже знайдених видів[4]

${\displaystyle S={1 \over b}\log \left({a \over c}-{(a-c)e^{-cbx} \over c}\right)}$

(3)

Рівняння Кленча[5]

${\displaystyle S={ax \over {1+bx}}}$

(4)

Зворотна експоненційна модель для випадку дослідження рідкісних видів[6]

${\displaystyle S=a(1-e^{-bx})}$

(5)

Експоненційна модель для випадку, коли ймовірність знахідки нового виду знижується лінійно до нуля при збільшенні кількості вже знайдених видів[4]

${\displaystyle S={a(1-e^{-bx}) \over b}}$

(6)

У випадку, коли кількість представників різних видів у досліджуваній сукупності сильно варіює (на порядок величини або більше) рівняння (6) використовують в незначно модифікованій формі (див. приклад в розділі «Приклад застосування методу»):

${\displaystyle S={a(1-e^{-bx}) \over b}+c}$

(6а)

Асимптотична регресійна модель[7]

${\displaystyle S=a-bc^{x}}$

(7)

Раціональна функція, використана для емпіричної апроксимації у випадку відсутності теоретичного обґрунтування виду залежності[8]

${\displaystyle S={a+bx \over 1+cx}}$

(8)

Модель Чапмана-Річардса[8]

${\displaystyle S=a(1-e^{-bx})^{c}}$

(9)

Кумулятивна функція бета-розподілу[9]

${\displaystyle S=a\left(1-\left(1+\left({x \over c}\right)^{d}\right)^{-b}\right)}$

(10)

Кумулятивна функція розподілу Вейбула[10]

${\displaystyle S=a(1-e^{-(b(x-c))^{d}})}$

(11)

Модель з припущенням про рівну ймовірність знахідки кожного із ще не знайдених видів[11]

${\displaystyle S=a\left(1-\left(1-{{1-b} \over a}\right)^{x}\right)}$

(12)

У цьому випадку константа ${\displaystyle a}$ репрезентує кількість ще не знайдених видів, ${\displaystyle b}$  — ймовірність повторної знахідки вже знайдених видів при наступному одиничному дослідницькому зусиллі.

В теперішній час для побудови кривих накопичення також активно розробляються та впроваджуються підходи, що ґрунтуються на аналізі та моделюванні стохастичних процесів[12].

При використанні кривої видового накопичення загальна кількість видів на досліджуваній території (в біотопі, таксоні тощо) обчислюється як асимптота функції, використаної для апроксимації даних дослідження; тобто застосовується формула

${\displaystyle N=\lim _{x\to \infty }S(x)}$

(13)

де N — загальна кількість видів.

При дослідженні іхтіофауни акваторії острова Зміїний в 2003—2011 роках одним із завдань стала оцінка її видового багатства, тобто загальної кількості видів риб в її складі.[13] Кількість риб різних видів навколо Зміїного відрізняється на 2-3 порядки величини; але різниця між ймовірностями потрапляння в ловчі знаряддя окремо взятого представника кожного з видів є набагато меншою. В такому випадку крива видового накопичення різко зростає на початку дослідження, коли практично одночасно виловлюються представники звичайних видів, а потім, коли до кривої починають додаватись рідкісні види, її зростання сильно уповільнюється (див. рисунок). За таких умов для апроксимації даних польових досліджень використовуються рівняння типу 4 або 6а.

При апроксимації методом найменших квадратів були отримані наступні значення констант апроксимації: для рівняння 4 — а=0.813, b=0.0133; для рівняння 6а — а=0.117, b=0.00386, с=27.263. При таких значеннях констант графіки обох рівнянь показали високу відповідність даним польових досліджень: значення коефіцієнту детермінації R² дорівнюють 0.9995 та 0.9996 для рівняння 4 та 6а, відповідно.

Після знаходження констант апроксимації їхні значення були підставлені у відповідні рівняння, і згідно з рівнянням (13) обчислена остаточна кількість видів в акваторії (N) при кількості дослідницьких зусиль (х), що прагне до нескінченності; одиницею дослідницького зусилля у цьому випадку вважалася одна постановка ловчого знаряддя. Таким чином були отримані значення N=61.089 для рівняння 4, та N=57.524 для рівняння 6а. Але, при цьому, значення асимптоти для рівняння 6а є меншим, ніж величина останньої точки на емпіричному графіку (див. рисунок), що є неможливим з міркувань загальної логіки.

Ця проблема може бути вирішена шляхом надання більшої статистичної ваги кільком останнім точкам графіку при здійсненні апроксимації кривої;[14] але знаходження конкретної величини коригування статистичної ваги, та обґрунтування кількості точок, статистичну вагу яких треба змінити, є доволі складним завданням. Більш того, коригування даних у такий спосіб означає надання принципово різних властивостей різним точкам експериментального графіку. Це, в свою чергу, суперечить загальному експериментальному підходу, при якому всі дані мають збиратись та оброблятись однаковим методом, і статистичне значення будь-якого одиночного результату (тобто його вплив на остаточний висновок) є однаковим з усіма іншими. Тому, незважаючи навіть на дещо вищу кореляцію графіку рівняння 6а з даними польових досліджень, для опису (апроксимації) цих даних було обране рівняння 4 (рівняння Кленча); і, отже, оцінка загальної кількості видів риб в акваторії о. Зміїний (61 вид) була дана виходячи саме з нього.[13]