Розподіл Вейбула

Нехай розподіл випадкової величини ${\displaystyle X}$ задається щільністю ${\displaystyle f_{X}(x)}$, що має вид:

${\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}},&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{matrix}}\right..}$

Тоді говорять, що ${\displaystyle X}$ має розподіл Вейбула. Пишуть: ${\displaystyle X\sim \mathrm {W} (k,\lambda )}$.

Моменти випадкової величини ${\displaystyle X}$, що має розподіл Вейбула мають вид

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)}$,

звідки

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)}$,

${\displaystyle \mathrm {D} [X]=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma ^{2}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]}$.

• Експоненційний розподіл є частковим випадком розподілу Вейбула:

${\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda )\equiv \mathrm {W} \left(1,{\frac {1}{\lambda }}\right)}$.

• Метод зворотного перетворення: якщо ${\displaystyle U\sim \mathrm {U} (0,1)}$, те

${\displaystyle \lambda \left(-\ln U\right)^{1/k}\sim \mathrm {W} (k,\lambda )}$.

• Часовий ряд
• Експоненційний розподіл