Многовид Калабі — Яу

В одновимірному випадку будь-який простір Калабі — Яу є тором ${\displaystyle \mathbf {T} ^{2}}$, який розглядається як еліптична крива.

Всі двовимірні простору Калабі — Яу є тори ${\displaystyle \mathbf {T} ^{4}}$ і так звані K3-поверхні. Класифікація в великих розмірностях не завершена, в тому числі в важливому тривимірному випадку.

Дзеркально-симетричний ${\displaystyle M'}$ многовид для многовиду ${\displaystyle M}$ Калабі-Яу має симплектичні властивості, які перетворюються у алгебро-геометричні властивості початкового, та навпаки. В рамках теорії Ходжа це значить, що

${\displaystyle h^{p,\,q}(M)=h^{\mathbb {C} -p,\,q}(M').}$

Тут ${\displaystyle h^{p,q}}$ — розмірності просторів ${\displaystyle (p,q)}$-диференціальних форм — розташовані так, щоб координати ${\displaystyle (p,q)}$ утворювали сторони ромба, який називається ромбом Ходжа (див. Гомологічна дзеркальна симетрія). Іншими словами, ромби Ходжа ${\displaystyle M}$ та ${\displaystyle M'}$ трансформуються один в одного поворотом на ${\displaystyle 90^{\mathrm {o} }}$ (звідси й назва «дзеркальна симетрія»).

Двовимірна проекція тривимірної візуалізації простору Калабі — Яу

В теорії струн використовуються тривимірні (з дійсною розмірністю 6) многовид Калабі — Яу, що є шаром компактифікації простору-часу, так що кожній точці чотиривимірного простору-часу відповідає простір Калабі — Яу.

Відомо більш ніж 470 мільйонів тривимірних просторів Калабі — Яу [1], які задовольняють вимогам до додаткових вимірів, що випливають з теорії струн.

Однією з основних проблем теорії струн є така вибірка із зазначеної підмножини тривимірних просторів Калабі — Яу, яка давала б найбільш адекватне обґрунтування кількості і складу всіх відомих частинок. Феномен свободи вибору просторів Калабі — Яу і виникнення в зв'язку з цим в теорії струн величезної кількості помилкових вакуумів відомий як проблема ландшафту теорії струн. При цьому, якщо теоретичні розробки в цій області призведуть до виділення єдиного простору Калабі — Яу, що задовольняє всім вимогам для додаткових вимірів, це стане дуже вагомим аргументом на користь істинності теорії струн [2].

• Calabi, Eugenio (1954). The space of Kähler metrics. Proc. Internat. Congress Math. Amsterdam. с. 206–207.
• Calabi, Eugenio (1957). On Kähler manifolds with vanishing canonical class. Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of S. Lefschetz. Princeton University Press. с. 78–89. MR0085583.
• Tian, Gang; Yau, Shing-Tung (1990). Complete Kähler manifolds with zero Ricci curvature, I. Amer. Math. Soc. 3 (3): 579–609. doi:10.2307/1990928.
• Tian, Gang; Yau, Shing-Tung (1991). Complete Kähler manifolds with zero Ricci curvature, II. Invent. Math. 106 (1): 27–60. doi:10.1007/BF01243902.
• Yau, Shing Tung (1978). On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation. I. Communications on Pure and Applied Mathematics 31 (3): 339—411. ISSN 0010-3640. doi:10.1002/cpa.3160310304. MR480350.