Многочлени Бернуллі

У математиці, Многочлени Бернуллі — многочлени, названі на честь Якоба Бернуллі, що виникають при вивченні багатьох спеціальних функцій, зокрема ζ-функції Рімана і ζ-функції Гурвіца, також є окремим випадком послідовності Аппеля. На відміну від ортогональних многочленів, многочлени Бернуллі визначні тим, що число коренів в інтервалі $\ [0,1]$ не збільшується із зростанням степеня многочлена. При необмеженому збільшенні степеня, многочлени Бернуллі наближаються до тригонометричних функцій.

Визначення

Многочлени Бернуллі $\ B_{n}(x)$ можна визначити різними способами. Вибір визначення залежить від зручності в тому або іншому випадку.

B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}B_{n-k}x^{k}

, де

C_{n}^{k}

\ B_{k}

Або

B_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}C_{m}^{k}(x+k)^{n}.

Генератриса для многочленів Бернуллі рівна:

{\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.

B_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}

Многочлени Бернуллі є єдиними многочленами, що задовольняють рівняння

\int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}.

Інтегральний оператор

(Tf)(x)=\int _{x}^{x+1}f(u)\,du

для многочленів f, приймає ті ж значення, що й

{\begin{aligned}(Tf)(x)={e^{D}-1 \over D}f(x)&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{D^{n} \over (n+1)!}f(x)\\&{}=f(x)+{f'(x) \over 2}+{f''(x) \over 6}+{f'''(x) \over 24}+\cdots .\end{aligned}}

Многочленами Бернуллі для найменших степенів є:

\ B_{0}(x)=1,

B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}},

B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}},

B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,

B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}},

B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x,

B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.

Значення многочленів Бернуллі при $\ x=0$ рівні відповідним числам Бернуллі:

\ B_{n}(0)=B_{n}

.

\ B'_{n}(x)=nB_{n-1}(x)

.

Невизначені інтеграли:

\int _{a}^{x}B_{n}(t)\,dt={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}

Визначені інтеграли:

\int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad m,n\geq 1

B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{s=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {s}{m}}\right)

.

B_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}

\ B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x),

\ (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}.

Ряди Фур'є для многочленів Бернуллі є також рядами Діріхле:

B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}=-2n!\sum _{k=1}{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}.

Цей розклад справедливий коли 0 ≤ x ≤ 1 для n ≥ 2 і у випадку 0 < x < 1 для n = 1.

x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x)

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York.
Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 495–519. ISBN 0-521-84903-9.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.