Дзета-функція Гурвіца

Дзета функція Гурвіца допускає аналітичне продовження до мероморфної функції, визначеної для всіх комплексних s, при s ≠ 1. У точці s = 1 вона має простий полюс із лишком, рівним 1. Постійний член розкладу в ряд Лорана в околі точки s = 1 дорівнює:

${\displaystyle \lim _{s\to 1}\left[\zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(q)}{\Gamma (q)}}=-\psi (q)}$,

де Γ(x) — гамма-функція, і ψ(x) — дігамма-функція.

Подання у вигляді збіжного степеневого ряду для q > −1 і довільного комплексного s ≠ 1 отримав у 1930 році Гельмут Гассе[1]

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}.}$

Цей ряд є рівномірно збіжним на будь-якій компактній підмножині комплексної s-площини до цілої функції. Внутрішня сума може бути подана у вигляді n-ї скінченної різниці для ${\displaystyle q^{1-s}}$, тобто:

${\displaystyle \Delta ^{n}q^{1-s}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{nk}{n \choose k}(q+k)^{1-s}}$

де Δ — оператор скінченної різниці. Таким чином

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}q^{1-s}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }q^{1-s}.}$

Дзета-функція Гурвіца має інтегральне подання у вигляді перетворення Мелліна:

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}}dt}$

для Re(s) > 1 і Re(q) > 0.

${\displaystyle \zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]}$,

де

${\displaystyle \beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{2\pi ix})}$.

Це подання дзета-функції Гурвіца є правильним для 0 ≤ x ≤ 1 и s >1. Тут ${\displaystyle {\text{Li}}_{s}(z)}$ — позначає полілогарифм.

Дане функціональне рівняння пов'язує значення дзета-функції Гурвіцa ліворуч і праворуч від прямої Re(s) = 1/2 в комплексній s-площині. Для натуральних m і n, таких що m ≤ n рівність

${\displaystyle \zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\left[\cos \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\mathrm {Z} \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right]}$

виконується для всіх значень s.

Похідна дзета-функції Гурвіца за другим аргументом також виражається через дзета-функцію Гурвіца:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).}$

Таким чином ряд Тейлора має вигляд:

${\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).}$

Розклад дзета-функції Гурвіца в ряд Лорана можна використати для визначення констант Стілтьєса, які з'являються в розкладі:

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\Gamma _{n}(q)\;(S-1)^{n}.}$

Дискретне перетворення Фур'є за змінною s дзета-функції Гурвіца є хі-функцією Лежандра[2]

Введена вище функція ${\displaystyle \beta (x;n)}$ узагальнює многочлени Бернуллі:

${\displaystyle B_{n}(x)=-Re\left[(-i)^{n}\beta (x;n)\right]}$.

З іншого боку,

${\displaystyle \zeta (-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}.}$

Зокрема, при ${\displaystyle n=0}$:

${\displaystyle \zeta (0,x)={\frac {1}{2}}-x.}$

Якщо ${\displaystyle \vartheta (z,\tau )}$ — тета-функція Якобі, тоді

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]}$.

Ця формула є вірною для Re(s) > 0 і будь-якого комплексного z, яке не є цілим числом. Для цілого z = n формула спрощується:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$.

де ζ(s) — дзета-функція Рімана. Останній вираз є функціональним рівнянням для дзета-функції Рімана.

При раціональних значеннях аргументу дзета-функція Гурвіца може бути подана у вигляді лінійної комбінації L-функцій Діріхле і навпаки. Якщо q = n/k при k > 2, (n,k) > 1 і 0 < n < k, тоді

${\displaystyle \zeta (s,n/k)=\sum _{\chi }{\overline {\chi }}(n)L(s,\chi ),}$

при цьому сумування здійснюється за всіма характерами Діріхле за модулем k. І навпаки

${\displaystyle L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{n=1}^{k}\chi (n)\;\mathrm {Z} \left(s,{\frac {n}{k}}\right).}$

Зокрема існує таке подання:

${\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),}$

що узагальнює

${\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa).}$ (Яке є правильним при натуральному q і ненатуральному 1 − qa.)

Дзета-функція Гурвіца зустрічається в різних співвідношеннях для раціональних значень аргументів.[2] Зокрема, для многочленів Ейлера${\displaystyle E_{n}(x)}$:

${\displaystyle E_{2n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}$

і

${\displaystyle E_{2n}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}$,

Крім того рівність

${\displaystyle \zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{s-1}\sum _{k=1}^{q}\left[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]}$,

виконується для ${\displaystyle 1\leq p\leq q}$. Тут${\displaystyle C_{\nu }(x)}$ і ${\displaystyle S_{\nu }(x)}$ виражаються через хі-функціію Лежандра ${\displaystyle \chi _{\nu }}$ як

${\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \,\chi _{\nu }(e^{ix})}$

і

${\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \,\chi _{\nu }(e^{ix}).}$

Дзета-функція Гурвіца зустрічається в різних розділах математики, зокрема в теорії чисел, де її теорія є найбільш розвиненою. Також дзета-функція Гурвіца зустрічається в теорії фракталів і динамічних систем. Дзета-функція Гурвіца застосовується в математичній статистиці, в законі Ципфа. У фізиці елементарних частинок використовується у формулі Швінгера[3], що дає точний результат для показника народження пар в рівнянні Дірака для стаціонарного електромагнітного поля.

Дзета-функція Гурвіца пов'язана з полігамма-функцією:

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\mathrm {Z} (m+1,z).}$

Дзета-функція Лерхе узагальнює дзета-функцію Гурвіца:

${\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}$

тобто

${\displaystyle \zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).}$

• Дзета-функції

• Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein Hurwitz Zeta Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, 1976
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4.
• Davenport, Harold (1967). Multiplicative number theory. Lectures in advanced mathematics 1. Chicago: Markham. Zbl 0159.06303.
• Miller, Jeff; Adamchik, Victor S. (1998). Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments. Journal of Computational and Applied Mathematics 100: 201–206. doi:10.1016/S0377-0427(98)00193-9.
• Vepstas, Linas. The Bernoulli Operator, the Gauss–Kuzmin–Wirsing Operator, and the Riemann Zeta.
• Mező, István; Dil, Ayhan (2010). Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function. Journal of Number Theory 130 (2): 360–369. doi:10.1016/j.jnt.2009.08.005.