Многочлен вузла
В теорії вузлів многочлен вузла — це інваріант вузла у вигляді многочлена, коефіцієнти якого кодують деякі властивості даного вузла.
![](../I/Skein_(HOMFLY).svg.png.webp)
Історія
Перший многочлен вузла, многочлен Александера, представив ще 1923 року Джеймс Александер, але інші многочлени вузла знайдено лише майже 60 років по тому.
У 1960-х роках Джон Конвей запропонував скейн-співвідношення для версії многочлена Александера, який зазвичай згадують як многочлен Александера — Конвея. Важливість скейн-співвідношень недооцінювали до 1980-х років, коли Воен Джонс відкрив многочлен Джонса. Це відкриття привело до виявлення ще кількох многочленів, таких як многочлен HOMFLY.
Незабаром після відкриття Джонса Луїс Кауфман зауважив, що многочлен Джонса можна обчислити в термінах моделі сум станів, яка використовує дужки Кауфмана, інваріант оснащених вузлів. Це відкрило широку дорогу для досліджень в галузі теорії зачеплення вузлів і статистичній механіці.
В кінці 1980-х років здійснено два прориви: Едвард Віттен продемонстрував, що многочлен Джонса і схожі інваріанти цього типу описано в теорії Черна — Саймонса; Віктор Васильєв і Михайло Гусаров створили теорію інваріантів скінченного типу вузлів. Відомо, що коефіцієнти згаданих многочленів мають скінченний тип (можливо, після деякої «підстановки змінних»).
2003 року показано, що многочлен Александера пов'язаний з гомологією Флоєра. Градуйована ейлерова характеристика гомології Гегора — Флоєра Ожвата і Сабо є многочленом Александера[1].
Приклад
Запис Александера — Бріггса | Многочлен Александера | Многочлен Конвея | Многочлен Джонса | Многочлен HOMFLY |
---|---|---|---|---|
(тривіальний вузол) | ||||
(Трилисник) | ||||
(Вісімка) | ||||
(Перстач) | ||||
(Бабин вузол) | ||||
(Прямий вузол) | | |||
Запис Александера — Бріггса — це нотація, яка перелічує вузли за їхнім числом перетинів, при цьому зазвичай до списку включають лише прості вузли (дивіться Список простих вузлів).
Зауважимо, що многочлен Александера і многочлен Конвея НЕ МОЖУТЬ розрізнити лівий і правий трилисники.
- Лівий трилисник
- Правий трилисник
Не розрізняють вони також бабин вузол і прямий вузол, оскільки композиція вузлів у дає добуток многочленів вузлів.
Див. також
Многочлени вузла
- Многочлен Александера
- Дужка Кауфмана
- Многочлен HOMFLY
- Многочлен Джонса
- Многочлен Кауфмана
Пов'язані теми
- Скейн-співвідношення для формального визначення многочлена Александера.
Примітки
- Ozsváth, Szabó, 2003, с. 225—254.
Література
- Colin Adams. The Knot Book. — American Mathematical Society. — ISBN 0-8050-7380-9.
- W. B. R. Lickorish. An introduction to knot theory. — New York : Springer-Verlag, 1997. — Т. 175. — (Graduate Texts in Mathematics) — ISBN 0-387-98254-X.
- Peter S. Ozsváth, Zoltán Szabó. Heegaard Floer homology and alternating knots // Geom. Topol. — 2003. — Вип. 7 (16 грудня).