Мультиіндекс

n-вимірний мультиіндекс — це вектор

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}),}$

складений з невід'ємних чисел. Для двох мультиіндексів ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} \cup \{0\}}$ і вектора ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ вводяться:

• Покомпоненне додавання і віднімання

${\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}$

• Часткова впорядкованість

${\displaystyle \alpha \leqslant \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leqslant \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}}$

• Абсолютне значення як сума компонент

${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$

• Факторіал

${\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}$

• Біноміальний коефіцієнт

${\displaystyle {\alpha \choose \beta }={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\cdots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}}$

• Піднесення до степеня

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$

• Старша частинна похідна

${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}},}$ де ${\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}$

Використання мультиіндекса дозволяє без проблем узагальнити багато з формул класичного аналізу на випадок багатьох змінних. Ось деякі приклади:

• http://mathworld.wolfram.com/Multi-IndexNotation.html