Нелінійна акустика

Неперервність:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\textbf {u}})=0}$

Збереження імпульсу:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial {\textbf {u}}}{\partial t}}+{\textbf {u}}\cdot \nabla {\textbf {u}}\right)+\nabla p=(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot {\textbf {u}})}$

зі збуренням розкладу Тейлора на щільність:

${\displaystyle \rho =\sum _{0}^{\infty }\varepsilon ^{i}\rho _{i}}$

де ε - параметр збурення; рівняння стану має вигляд:

${\displaystyle p=\varepsilon \rho _{1}c_{0}^{2}\left(1+\varepsilon {\frac {B}{2!A}}{\frac {\rho _{1}}{\rho _{0}}}+O(\varepsilon ^{2})\right)}$

Якщо опустити другий член у розкладі Тейлора, то можна отримати рівняння в'язкої хвилі. Якщо його зберегти, то нелінійний доданок у тиску з’являється у рівнянні Вестервельта.

Загальне хвильове рівняння, яке враховує нелінійність до другого порядку, задається рівнянням Вестервельта [2]

${\displaystyle \,\nabla ^{2}p-{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}+{\frac {\delta }{c_{0}^{4}}}{\frac {\partial ^{3}p}{\partial t^{3}}}=-{\frac {\beta }{\rho _{0}c_{0}^{4}}}{\frac {\partial ^{2}p^{2}}{\partial t^{2}}}}$

де ${\displaystyle p}$ - звуковий тиск, ${\displaystyle c_{0}}$ - мала швидкість звуку сигналу, ${\displaystyle \delta }$ - дифузійність звуку, ${\displaystyle \beta }$ - коефіцієнт нелінійності та ${\displaystyle \rho _{0}}$ - щільність навколишнього середовища.

Де дифузійність звуку отримано:

${\displaystyle \,\delta ={\frac {1}{\rho _{0}}}\left({\frac {4}{3}}\mu +\mu _{B}\right)+{\frac {k}{\rho _{0}}}\left({\frac {1}{c_{v}}}-{\frac {1}{c_{p}}}\right)}$

де ${\displaystyle \mu }$ - зсувна в'язкість, ${\displaystyle \mu _{B}}$ об'ємна в'язкість, ${\displaystyle k}$ теплопровідність, ${\displaystyle c_{v}}$ і ${\displaystyle c_{p}}$ питома теплоємність при постійному об’ємі та тиску відповідно.

Рівняння Вестервельта можна спростити, щоб отримати одновимірну форму, припускаючи, що хвилі поширюються суто вперед та використовується трансформація координат у рамках часу затримки: [3]

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}-{\frac {\beta }{\rho _{0}c_{0}^{3}}}p{\frac {\partial p}{\partial \tau }}={\frac {\delta }{2c_{0}^{3}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial \tau ^{2}}}}$

де ${\displaystyle \tau =t-z/c_{0}}$ є часом з затримкою. Це відповідає рівнянню Бюргерса:

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial t'}}+y{\frac {\partial y}{\partial x}}=d{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}}$

в полі тиску (y = p), з математичною "змінною часу":

${\displaystyle t'={\frac {z}{c_{0}}}}$

і з "просторовою змінною":

${\displaystyle x=-{\frac {\rho _{0}c_{0}^{2}}{\beta }}\tau }$

і негативний коефіцієнт дифузії:

${\displaystyle d=-{\frac {\rho _{0}c_{0}}{2\beta ^{2}}}\delta }$ .

Рівняння Бюргерса є найпростішим рівнянням, яке описує поєднані ефекти нелінійності та втрати за поширення біжучих хвиль.

Доповнення до рівняння Бюргерса, яке враховує поєднані ефекти нелінійності, дифракції та поглинання в спрямованих звукових пучках, описується рівнянням Хохлова – Заболотської – Кузнєцова (KZK), названого на честь Рема Хохлова, Євгенії Заболоцької та В.П. Кузнецова. [4] Розв'язки цього рівняння зазвичай використовують для моделювання нелінійної акустики.

Якщо вісь ${\displaystyle z}$ знаходиться у напрямку шляху звукового променя і пряма ${\displaystyle (x,y)}$ перпендикулярна до нього, то рівняння KZK можна записати [5] як:

${\displaystyle \,{\frac {\partial ^{2}p}{\partial z\partial \tau }}={\frac {c_{0}}{2}}\nabla _{\perp }^{2}p+{\frac {\delta }{2c_{0}^{3}}}{\frac {\partial ^{3}p}{\partial \tau ^{3}}}+{\frac {\beta }{2\rho _{0}c_{0}^{3}}}{\frac {\partial ^{2}p^{2}}{\partial \tau ^{2}}}}$

Рівняння можна розв’язати для конкретної системи, використовуючи скінченні різниці. Розв'язки показують як звуковий промінь спотворюється при проходженні через нелінійне середовище.

Нелінійна поведінка атмосфери призводить до зміни форми хвилі в звуковому ударі. Як правило, це робить удар більш "різким" або раптовим, оскільки пік високої амплітуди рухається до хвильового фронту.

Через відносно велике відношення амплітуди до довжини хвилі, ультразвукові хвилі зазвичай демонструють нелінійну поведінку поширення. Наприклад, нелінійна акустика є сферою інтересів для медичної акустики, оскільки її можна використовувати для отримання кращої якості зображення.