Однорідні координати

Дійсну проєктивну площину можна розглядати як евклідову площину яка має додаткові точки, які називаються точками на нескінченності, і вважається що вони знаходяться на новій прямій, прямій на нескінченності. Існує точка на нескінченності яка відповідає кожному напряму (який чисельно задається нахилом прямої), неформально визначена як ліміт точки, яка рухається в напрямку від початку. Стверджують, що паралельні лінії на евклідовій площині перетинаються в точці на нескінченності, яка відповідає їх спільному напрямку. Дана точка (x, y) на Евклідовій площині, для будь-якого не нульового дійсного числа Z, трійка (xZ, yZ, Z) називається множиною однорідних координат точки. За цим визначенням, множення трьох однорідних координат на одне, не нульове значення дає новий набір однорідних координат тої самої точки. Зокрема, (x, y, 1) є множиною однорідних координат для точки (x, y). Наприклад, точка декартової системи (1, 2) може бути задана в однорідних координатах як (1, 2, 1) або (2, 4, 2). Початкові декартові координати можна отримати шляхом ділення перших двох значень на третє. Таким чином одна точка в декартових координатах може задаватися нескінченною кількістю однорідних координат.

Рівняння прямої, що проходить через початок (0, 0) можна записати як nx + my = 0 де n і m обидва не дорівнюють 0. В параметричній формі це можна записати x = mt, y = −nt. Нехай Z = 1/t, тоді координати точки на прямій можуть бути записані як (m/Z, −n/Z). В однорідних координатах це буде (m, −n, Z). В ліміті, коли t наближується до нескінченності, іншими словами, точка рухається від початку, Z наближується до 0 і однорідні координати точки будуть (m, −n, 0). Таким чином ми визначаємо (m, −n, 0) як однорідні координати точки на нескінченності, яка відповідає напрямку прямої nx + my = 0. Оскільки кожна пряма в Евклідовій площині паралельна прямій яка проходить через початок, і оскільки паралельні лінії мають одну точку на нескінченності, нескінченна точка на кожній прямій Евклідової площини має дані однорідні координати.

Як підсумок:

• Будь-яка точка на проєктивній площині задається трійкою (X, Y, Z), що називається однорідними координатами або проєктивними координатами точки, де X, Y і Z всі не дорівнюють 0.
• Точка, яка задається даним набором однорідних координат залишається незмінною, якщо координати помноженні на один коефіцієнт.
• І навпаки, дві множини однорідних координат задають одну точку тоді і тільки тоді, коли один з них можна отримати з іншого шляхом множення на одну не нульову константу.
• Якщо Z не дорівнює 0 точка відповідає точці (X/Z, Y/Z) на Евклідовій площині.
• Якщо Z дорівнює 0 точка відповідає точці на нескінченності.

Зазначимо, що трійка координат (0, 0, 0) опускається і не представляє жодної точки. Початок координат задається як (0, 0, 1).[3]

Можна провести аналогію для проєктивних просторів, що не є площиною. Так, наприклад, точки на проєктивній прямій можуть задаватися як пари координат (x, y), що обидві не дорівнюють нулю. В такому випадку, точка на нескінченності є (1, 0). Аналогічно точка у проєктивному просторі n-виміру задається набором в (n + 1).[7]

Нехай задана точка евклідового простору ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$ з координатами ${\displaystyle (x,y,z)}$. Їй ставиться у відповідність точка з однорідними координатами ${\displaystyle (x,y,z,1)}$ з якою виконуються потрібні перетворення. Після цього отримані координати ${\displaystyle (x',y',z',w')}$ переводяться у декартові координати ${\displaystyle \left({\frac {x'}{w'}},{\frac {y'}{w'}},{\frac {z'}{w'}}\right)}$.

Використання матричного запису дозволяє отримати економію в кількості зроблених операцій. Так як добуток матриць асоціативний, то можна спочатку обчислити необхідне перетворення як добуток матриць і тільки потім застосувати його до координат точок.

Паралельне перенесення:	${\displaystyle {\underline {T}}}$	=	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&t_{x}\\0&1&0&t_{y}\\0&0&1&t_{z}\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\underline {T}}\cdot (x,y,z,1)^{T}=(x+t_{x},y+t_{y},z+t_{z},1)^{T}}$
Обертання навколо осі x:	${\displaystyle {\underline {R_{x}}}}$	=	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\0&\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$
Обертання навколо осі y:	${\displaystyle {\underline {R_{y}}}}$	=	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta &0\\0&1&0&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta &0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$
Обертання навколо осі z:	${\displaystyle {\underline {R_{z}}}}$	=	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0&0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$
Масштабування:	${\displaystyle {\underline {S}}}$	=	${\displaystyle {\begin{pmatrix}s_{x}&0&0&0\\0&s_{y}&0&0\\0&0&s_{z}&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\underline {S}}\cdot (x,y,z,1)^{T}=(s_{x}\cdot x,s_{y}\cdot y,s_{z}\cdot z,1)^{T}}$
Перспективне перетворення:	${\displaystyle {\underline {P}}}$	=	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&{\frac {1}{d}}&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\underline {P}}\cdot (x,y,z,1)^{T}=(x,y,z,{\tfrac {z}{d}})^{T}}$
Ортогональна проєкція:	${\displaystyle {\underline {P_{\mathrm {orth} ,z=0}}}}$	=	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\underline {P_{\mathrm {orth} ,z=0}}}\cdot (x,y,z,1)^{T}=(x,y,0,1)^{T}}$

• Homogeneous coordinates

• Проєктивний простір
• Проєктивні координати
• Барицентричні координати