Обертання (математика)

Для проведення обертання з використанням матриць, точку ${\displaystyle (x,y)}$ записують у вигляді вектора, потім множать на матрицю від кута ${\displaystyle \theta }$, схожу на:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$.

${\displaystyle (x',y')}$ координати точки після обертання, ${\displaystyle x'}$ і ${\displaystyle y'}$ можуть бути записані так:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}\right.}$

Вектори ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$ і ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}}$ мають один і той самий розмір і відокремлені кутом ${\displaystyle \theta }$, як і очікувалось.

Точку також можна обертати за допомогою комплексних чисел. Множина всіх цих чисел, комплексна площина, геометрично являє собою двовимірну площину. Точка ${\displaystyle (x,y)}$ на площині представлена комплексним числом

${\displaystyle z=x+iy\,}$

Обертання точки на кут ${\displaystyle \theta }$ можна здійснити множенням ${\displaystyle e^{i\theta }}$, розгорнемо формулу використавши формулу Ейлера:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }z&=(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)\\&=(x\cos \theta +iy\cos \theta +ix\sin \theta -y\sin \theta )\\&=(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta )\\&=x'+iy',\end{aligned}}}$

що нам дає такий самий як і раніше результат,

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}\right.}$

Як і комплексні числа обертання в двовимірному просторі комутативні, на відміну від вищих вимірів. Вони мають тільки одну ступінь свободи, тобто обертання однозначно визначено кутом обертання[1].

Матриця використовується для переведення точки (x, y, z) в (x′, y′, z′). Розмір матриці 3 × 3:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}}$

Для отримання результату множимо матрицю на вектор, що представляє початкову точку

${\displaystyle \mathbf {A} {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}}$

Матриця ${\displaystyle \mathbf {A} }$ є елементом тривимірної ортогональної групи, SO(3), це ортогональна матриця з визначником 1. Через ортогональність рядки матриці є набором ортогональних одиничних векторів (тобто вони є ортонормованим базисом), так само як і стовпці, що полегшує перевірку, чи дійсно це матриця обертання. Якщо ж визначник −1 (матрична група O(3), ${\displaystyle \det {A}=\pm 1}$), тоді перетворення буде відбиттям або невласним перетворенням.

Матриці часто використовують для перетворень, особливо коли мова йде про велику кількість точок, через те що вони є прямим представленням лінійного відображення. Обертання представленні іншим чином часто переводяться в матричне представлення. Вони можуть бути розширені для представлення обертань і перетворень в однорідних координатах. Перетворення в проективному просторі представленні матрицею 4 х 4, яка не є матрицею обертання, але яке має її в своєму верхньому лівому куті.

Найбільший недолік у використанні матриць — велика кількість обчислень. Особливо це відчувається в системах, де числова стійкість дуже важлива^{[джерело?]}.

Крен, тангаж і рискання - основні осі обертання в просторі.

Один з варіантів узагальнення двовимірного кута — задання трьох кутів обертання (навколо трьох координатних осей). В аеродинаміці ці кути називають крен, тангаж і рискання, а в математиці застосовують термін ейлерові кути. Спосіб має переваги при моделюванні таких фізичних систем як джойстик, легко візуалізується, і це дуже компактний спосіб зберігати інформацію про обертання. Але їх важко використовувати в обчисленнях через те, що навіть такі прості операції, як комбінування обертань, дуже дорогі, також для деяких обертань за трьома кутами неможливо обчислити єдиний вірний варіант (оскільки обертання у тривимірному просторі некомутативні).

Кватерніон обертання складається з чотирьох чисел, його довжина вважається рівною 1. Це обмежує кількість ступенів свободи трьома ступенями. Кватерніони можна розглядати як узагальнення поняття комплексних чисел за процедурою Келі — Діксона, вони породжують обертання через множення. Але, на відміну від матриць і комплексних чисел, необхідно лише два множення:

${\displaystyle \mathbf {x'=qxq^{-1}} }$