Одноточкова компактифікація

Нехай ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ — топологічний простір, точка ${\displaystyle p\notin X}$ і ${\displaystyle X^{*}=X\cup \{p\}}$. Визначимо топологію ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{*}}$ на ${\displaystyle X^{*}}$, оголошуючи множину в ${\displaystyle X^{*}}$ відкритою тоді і тільки тоді, коли вона належить ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ або є доповненням до замкненої компактної множини простору ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$.

• ${\displaystyle (X^{*},{\mathcal {T}}^{*})}$ є компактним, оскільки будь-яке відкрите покриття ${\displaystyle U}$ простору ${\displaystyle X^{*}}$ містить відкриту множину, яка містить точку ${\displaystyle p}$, і доповнення до цієї відкритої множини покривається скінченним набором множин з ${\displaystyle U}$.
• ${\displaystyle (X^{*},{\mathcal {T}}^{*})}$ є T1-простором тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ є T1-простором.
• ${\displaystyle (X^{*},{\mathcal {T}}^{*})}$ є T2-простором тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ є локально компактним T2-простором.
• Якщо ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,{\mathcal {T}})}$ — множина раціональних чисел з топологією, індукованою евклідовою топологією на множині дійсних чисел, то ${\displaystyle (\mathbb {Q} ^{*},{\mathcal {T}}^{*})}$ не хаусдорфів, оскільки ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,{\mathcal {T}})}$ не є локально компактним простором. Наприклад візьмемо точки ${\displaystyle p\notin \mathbb {Q} ,x\in \mathbb {Q} .}$ Припустимо, що існують відкриті околи ${\displaystyle p\in U,x\in V}$ у ${\displaystyle (\mathbb {Q} ^{*},{\mathcal {T}}^{*})}$ для яких ${\displaystyle U\cap V=\emptyset .}$ Відкрита множина ${\displaystyle V}$ має містити відкритий окіл виду ${\displaystyle V_{1}=(a,b)\cap \mathbb {Q} ,}$ де a, b є дійсними числами і ${\displaystyle x\in (a,b)}$. Також множина ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ^{*}\setminus U}$ за означенням одноточкової компактифікації є компактною підмножиною раціональних чисел і ${\displaystyle V_{1}\subset K.}$ Оскільки включення ${\displaystyle i:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$ є неперервним відображенням у стандартних топологіях, то також ${\displaystyle K}$ є компакною підмножиною дійсних чисел, тобто обмеженою замкнутою підмножиною. Зокрема замикання ${\displaystyle V_{1}}$ у множині дійсних чисел є підмножиною ${\displaystyle K}$. Але це неможливо оскільки ${\displaystyle K}$ є підмножиною раціональних чисел. Тобто ${\displaystyle (a,b)\cap \mathbb {Q} }$ не може бути підмножиною ${\displaystyle K}$, а тому має перетинатися із ${\displaystyle U.}$
• ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}\setminus \{p\}}$ тотально незв’язний.
• ${\displaystyle (\mathbb {Q} ^{*},{\mathcal {T}}^{*})}$ є бізв’язним та секвенціально компактним.
• ${\displaystyle (\mathbb {Q} ^{*},{\mathcal {T}}^{*})}$ є KC-простором, тобто кожна його компактна підмножина є замкнутою. Якщо ${\displaystyle K}$ є компактною підмножиною, що не містить ${\displaystyle p}$ то вона є замкнутою за означенням одноточкової компактифікації. Якщо ${\displaystyle p\in K}$ і ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}\setminus K}$ не є відкритою підмножиною то також ${\displaystyle \mathbb {Q} \setminus K}$ не є відкритою множиною раціональних чисел і тому ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap K}$ не є замкнутою підмножиною раціональних чисел. Оскільки ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ є секвенційним простором, то існує точка ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} \setminus K}$ і послідовність ${\displaystyle x_{n}\in \mathbb {Q} \cap K}$, що збігається до ${\displaystyle x.}$ Тоді ${\displaystyle C=\{x\}\cup \{x_{n}\}}$ є компактною підмножиною у ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ і за означенням ${\displaystyle U=\mathbb {Q} ^{*}\setminus C}$ є відкритою множиною. Також можна вибрати такі околи ${\displaystyle x_{n}\in U_{n}}$ елементів послідовності, що ${\displaystyle U_{n}\cap U_{m}=\emptyset ,}$ для ${\displaystyle n\neq m}$. Тоді відкриті множини ${\displaystyle U,\{U_{n}\}}$ утворюють покриття ${\displaystyle K}$ із якого не можна вибрати скінченне підпокриття. Це протирічить тому, що ${\displaystyle K}$є компактною підмножиною. Тому ${\displaystyle K}$ має бути замкнутою.

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446. (приклади 34, 35)