Секвенційний простір

У топології секвенційним простором називається топологічний простір у якому властивість збіжності чи розбіжності послідовностей повністю визначає топологію. Поняття вперше формально ввів американський математик Стен Френклін у 1965 році.

Секвенційно відкриті і секвенційно замкнуті множини

Означення

Нехай X — топологічний простір.

Підмножина U простору X називається секвенційно відкритою якщо для кожної послідовності (x_n) точок X, що збігається до точки з U існує N таке, що x_n є точкою U для всіх n ≥ N.)
Підмножина F простору X називається секвенційно замкнутою якщо для кожної послідовності (x_n) точок F, що збігається до x, точка x теж належить F.

Властивості

Доповнення секвенційно відкритої множини є секвенційно замкнутою множиною і навпаки.

Нехай U є секвенційно відкритою, F= X\U є її доповненням і (x_n)_n∈ℕ є збіжною послідовністю точок із F. Якщо

x_{n}\,{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\,x\,\in U

, тоді

\exists \ N\in \mathbb {N} ,\ \left\lbrace x_{k},\ k\geq N\right\rbrace \subset U

. Це суперечить тому, що всі x_n є елементами F. Тобто кожна така послідовність збігається до точки F і тому F є секвенційно замкнутою.

Навпаки, нехай F є секвенційно замкнутою і U= X\F її доповненням. Нехай також (x_n)_n∈ℕ є послідовністю у X для якої

\lim _{n\to \mathbb {N} }x_{n}=x\,\in U

і припустимо, що для будь-якого

N\in \mathbb {N} ,\ \left\lbrace x_{k},\ k\geq N\right\rbrace \not \subseteq U

, тобто

\forall \ N\in \mathbb {N} ,\ \exists \ k_{N}\geq N,\ x_{k_{N}}\in F=X\backslash U

. Розглянемо підпослідовність таких елементів

x_{k_{N}}

(їх очевидно має бути нескінченно багато). Ця підпослідовність є збіжною як підпослідовність збіжної послідовності, і всі її елементи належать F. Томі і границя має бути елементом F, що суперечить тому, що x∈U. Відповідно всі елементи послідовності x_n, починаючи з деякого належать U і тому U є секвенційно відкритою множиною.

Кожна відкрита підмножина у X є секвенційно відкритою і кожна замкнута підмножина є секвенційно замкнутою.

Нехай (x_n)_n∈ℕ є послідовністю у X, що збігається до точки x∈U. Оскільки U є відкритою множиною, то вона є околом точки x і, за означенням збіжності послідовностей, існує

N\in \mathbb {N} ,\ \left\lbrace x_{k},\ k\geq N\right\rbrace \subset U

. Це доводить твердження для відкритих множин. Твердження для замкнутих множин випливає із того, що доповнення замкнутої множини є відкритою множиною, а доповнення секвенційно замкнутої — секвенційно відкритою.

Секвенційно відкриті множини утворюють топологію, яка є сильнішою від початкової і має однакові властивості щодо збіжності послідовностей.

Порожня множина і X є очевидно секвенційно відкритими множинами. Нехай(U_i)_i∈I є сім'єю секвенційно відкритих підмножин,

U=\bigcup _{i\in I}U_{i}

і (x_n)_n∈ℕ — послідовність у X, що збігається до x∈U. Якщо x є елементом об'єднання, то

\exists \ i_{0}\in I,\ x\in U_{i_{0}}

і, згідно означення секвенційно відкритих множин, усі елементи послідовності x_n, починаючи з деякого, належать U_i₀. Якщо

V=\bigcap _{i=1}^{n}U_{i}

є скінченним перетином секвенційно відкритих підмножин, то послідовність, що збігається до елемента x∈V задовольняє умови

\ \forall \ i\in \mathbb {N} ,\ 1\leq i\leq n,\ \exists \ N_{i}\in \mathbb {N} ,\ \left\lbrace x_{k},\ k\geq N_{i}\right\rbrace \subset U_{i}

. Якщо взяти

N=\max _{1\leq i\leq n}N_{i}

, то

\left\lbrace x_{k},\ k\geq N\right\rbrace \subset V

.

Означення секвенційних просторів

Секвенційним простором називається топологічний простір X, що задовольняє еквівалентні умови:

Кожна секвенційно відкрита підмножина простору X є відкритою множиною.
Кожна секвенційно замкнута підмножина простору X є замкнутою множиною.
Для кожної підмножини S ⊆ X, яка не є замкнутою, тобто ${\overline {S}}\backslash S\neq \emptyset$ , існує послідовність $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in S^{\mathbb {N} }$ елементів S, що збігається до елемента ${\overline {S}}\backslash S$ .[1]

Тобто початкову топології можна відтворити на основі інформації про те які послідовності є збіжними.

Еквівалентність перших двох умов відразу випливає з того, що доповнення замкнутої множини є відкритою множиною, а доповнення секвенційно замкнутої — секвенційно відкритою.

( $2.\Leftrightarrow 3.$ ): Якщо S не є замкнутою, то S не є секвенційно замкнутою і тому існує послідовність елементів S, що збігається до точки, що не належить S. Оскільки ця точка є точкою дотику для S, то вона належить замиканню S.

Навпаки, припустимо, що виконується умова 3 і підмножина S:=F є секвенційно замкнутою але не замкнутою. Згідно умови 3 тоді існує послідовність у F, що збігається до точки у

{\overline {S}}\backslash S={\overline {F}}\backslash F

, тобто гранична точка не належить F. Це суперечить секвенційній замкнутості F.

Іншими еквівалентними умовами є:

X є фактор-простором, топологічного простору, що задовольняє першу аксіому зліченності.
X є фактор-простором метричного простору.
Для кожного топологічного простору Y відображення f : X → Y є неперервним якщо і тільки якщо для кожної послідовності точок (x_n) у X, що збігається до x, послідовність (f(x_n)) збігається до f(x).

Секвенційне замикання

Для підмножини $A\subseteq X$ простору $X$ , секвенційним замиканням $[A]_{\text{seq}}$ називається множина

[A]_{\text{seq}}=\{x\in X:\exists \{a_{n}\}\to x,a_{n}\in \}

тобто множина всіх точок $x\in X$ для яких існує послідовність у $A$ , що збігається до $x$ . Оператор

[\;]_{\text{seq}}:A\mapsto [A]_{\text{seq}}

називається оператором секвенційного замикання.

Оператор секвенційного замикання має багато властивостей спільних із оператором замикання:

$[\varnothing ]_{\text{seq}}=\varnothing .$
$\subseteq [A]_{\text{seq}}\subseteq {\overline {A}}$ і тому секвенційне замикання замкнутої множини є тією ж множиною.

{\overline {A}}

позначає замикання множини

A

.

$[A\cup B]_{\text{seq}}=[A]_{\text{seq}}\cup [B]_{\text{seq}}$ для всіх $A,B\subseteq X$ .

Проте, на відміну від звичайного замикання, оператор секвенційного замикання загалом не є ідемпотентним, тобто можливі випадки коли

[A]_{\text{seq}}\subsetneq {\Big [}[A]_{\text{seq}}{\Big ]}_{\text{seq}},

і також $[A]_{\text{seq}}\neq {\overline {A}}$ , навіть коли $A$ є підмножиною секвенційного простору $X$ .

Ще одним варіантом є трансфінітне секвенційне замикання. Для його означення нехай спершу $A_{0}$ є рівним $A$ і для звичайного ординала $A_{\alpha +1}$ є рівним $[A_{\alpha }]_{\text{seq}}.$ Для граничного ординала $\alpha$ за означенням $A_{\alpha }$ є рівним $\bigcup _{\beta <\alpha }A_{\beta }$ . Тоді існує найменший ординал $\alpha$ для якого $A_{\alpha }=A_{\alpha +1}$ і тоді $A_{\alpha }$ називається трансфінітним секвенційним замиканням множини $A$ (зокрема завжди $\alpha \leq \omega _{1}$ , де $\omega _{1}$ є першим незліченним ординалом). Трансфінітне секвенційне замикання є очевидно ідемпотентним.

Найменше $\alpha$ для якого $A_{\alpha }={\overline {A}}$ для всіх $A\subseteq X$ називається секвенчійним порядком простору X.[2] Секвенційний порядок є визначеним для всіх секвенційних просторів.

Простір Фреше

Топологічний простір у якому секвенційне замикання будь-якої множини є рівним її замиканню називається простором Фреше. Тобто у цьому просторі

[A]_{\text{seq}}={\overline {A}}\,

для всіх $A\subseteq X$ .

Топологічний простір є простором Фреше, якщо і тільки якщо кожен його підпростір є секвенційним простором.

Кожен топологічний простір, що задовольняє першу аксіому зліченності є простором Фреше. Дійсно, нехай точка $x\in {\bar {A}}$ має зліченну базу околів $U_{i}.$ Для кожного $i=1,2,\ldots$ можна вибрати точку $x_{i}\in A\cap U_{1}\cap U_{2}\cap \ldots \cap U_{i}.$ Тоді послідовність $\{x_{i}\}$ збігається до $x.$

Очевидно, що кожен простір Фреше є секвенційним простором. Обернене твердження не є справедливим.[3][4]

Топологічний простір $X$ називається сильним простором Фреше якщо для кожної точки $x\in X$ і кожної послідовності $A_{1},A_{2},\ldots$ підмножин простору $X$ для якої $x\in \bigcap _{n}{\overline {A_{n}}}$ , існують точки $x_{1}\in A_{1},x_{2}\in A_{2},\ldots$ такі, що $\{x_{n}\}\to x$ .

Приклади

Кожен простір, що задовольняє першу аксіому зліченності є секвенційним. Як наслідок простори, що задовольняють другу аксіому зліченності, метричні простори і дискретні простори є секвенційними. Інші приклади можна отримати застосувавши категорні властивості секвенційних просторів. Наприклад кожен CW-комплекс є секвенційним, оскільки він є фактор-простором метричного простору.
Фактор-простір дійсних чисел R одержаний ідентифікацією цілих чисел Z є секвенційним простором, що не задовольняє першу аксіому зліченності.

Топологічний простір із козліченною топологією на незліченній множині не є секвенційним. Кожна збіжна послідовність у такому просторі є константою починаючи з якогось номера, тому кожна множина є секвенційно відкритою. Але козліченна топологія не є дискретною.

Категорні властивості

Повна підкатегорія Seq усіх секвенційних просторів є замкнутою щодо таких операцій у категорії топологічних просторів Top:

Фактор-простори
Неперервні відкриті чи замкнуті образи
Суми топологічних просторів
Фінальні топології
Відкриті і замкнуті підпростори

Натомість Seq не є замкнутою щодо таких операцій у Top:

Неперервні образи
Підпростори
Скінченні добутки

Оскільки вони є замкнутими щодо сум і фактор-просторів, секвенційні простори утворюють корефлективну підкатегорію категорії топологічних просторів. Більш того вони є корефлективною оболонкою метризовних просторів (тобто найменшим класом топологічних просторів, що є замкнутим відносно сум і фактор-просторів і містить метризовні простори).

Підкатегорія Seq є декартово замкнутою щодо свого добутку (не добутку у Top). Її експоненційні об'єкти наділені топологією збіжних послідовностей. P.I. Booth і A. Tillotson довели, що Seq є найменшою декартово замкнутою підкатегорією категорії Top, що містить топологічні простори усіх метричних просторів, CW-комплексів, диференційовних многовидів і є замкнутою щодо кограниць, фактор-категорій і деяких додаткових рівностей введених Норманом Стінродом.

Див. також

Перша аксіома зліченності

Примітки

Arkhangel'skii, A.V. і Pontryagin L.S., General Topology I, definition 9 p.12
Arhangel'skiĭ, A. V.; Franklin, S. P. (1968). Ordinal invariants for топологічний простірs.. Michigan Math. J. 15 (3): 313–320. doi:10.1307/mmj/1029000034.
Engelking 1989, Example 1.6.18
Ma, Dan. note about Arens’ space. Процитовано 1 серпня 2013.

Джерела

Arkhangel'skii, A.V. and Pontryagin, L.S., General Topology I, Springer-Verlag, New York (1990) ISBN 3-540-18178-4.
Booth, P.I. and Tillotson, A., Monoidal closed, cartesian closed and convenient categories of topological spaces Pacific J. Math., 88 (1980) pp. 35–53.
Engelking, R., General Topology, Heldermann, Berlin (1989). Revised and completed edition.
Franklin, S. P., "Spaces in Which Sequences Suffice", Fund. Math. 57 (1965), 107-115.
Franklin, S. P., "Spaces in Which Sequences Suffice II", Fund. Math. 61 (1967), 51-56.
Goreham, Anthony, "Sequential Convergence in Topological Spaces"
Steenrod, N.E., A convenient category of topological spaces, Michigan Math. J., 14 (1967), 133-152.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[Arkhangel'skii,_A.V._і_Pontryagin_L.S.-1] Arkhangel'skii, A.V. і Pontryagin L.S., General Topology I, definition 9 p.12

[2] Arhangel'skiĭ, A. V.; Franklin, S. P. (1968). Ordinal invariants for топологічний простірs.. Michigan Math. J. 15 (3): 313–320. doi:10.1307/mmj/1029000034.

[3] Engelking 1989, Example 1.6.18

[4] Ma, Dan. note about Arens’ space. Процитовано 1 серпня 2013.