Ромб

Ромб
	Два ромби
Вид	чотирикутник, паралелограм, дельтоїд
Ребра і вершини	4
Символ Шлефлі	{ } + { }
Діаграма Коксетера
Група симетрії	діедральна (D2), [2], (*22), порядок 4
Площа	(половина добутку діагоналей)
Дуальний багатокутник	прямокутник
Властивості	опуклий, ізотоксальний

Ромб (грец. ρομβος) — це паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Ромб, сторони якого утворюють прямий кут, називають квадратом.

Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

Етимологія

Слово «ромб» походить від грец. ῥόμβος (ромбос), що означає щось, що обертається[1], утворене своєю чергою від дієслова ῥέμβω (рембо), що означає «обертаюся довкола»[2]. Слово використовувалося Евклідом і Архімедом, які використовували термін «об'ємний суцільний ромб» для двох круглих конусів зі спільною основою[3].

Та плоска фігура, яку ми сьогодні називаємо ромбом, є поздовжнім перетином того суцільного ромба, що проходить крізь вершини кожного з двох конусів.

Ознаки ромба

Паралелограм ABCD буде ромбом, якщо виконується хоча б одна з таких умов:

Дві його суміжні сторони рівні (звідси випливає, що всі сторони рівні): АВ = ВС = СD = AD
Його діагоналі перетинаються під прямим кутом: AC┴BD
Одна із діагоналей (бісектриса) ділить кути навпіл:
∠BAC = ∠CAD або ∠BDA = ∠BDC
Якщо всі висоти рівні: BN = DL = BM = DK
Якщо діагоналі ділять паралелограм на чотири рівні прямокутні трикутники:
Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO
Якщо в паралелограм можна вписати коло.

Властивості ромба

Кожен ромб має дві діагоналі, що з'єднують пари протилежних вершин, і має дві пари паралельних сторін. Використовуючи правила конгруентних трикутників, можна довести, що ромб є симетричним відносно кожної з його діагоналей. Звідси випливає, що ромб має такі властивості:

Це паралелограм, діагоналі якого розділяють внутрішній кут.
Протилежні кути ромба рівні.
Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом, точка перетину є серединою кожної діагоналі.
Діагоналі ромба є бісектрисами кутів, з яких вони проведені.
Сторони ромба попарно паралельні.
Точка перетину діагоналей називається центром симетрії ромба.
В будь-який ромб можна вписати коло.
Центром кола, вписаного в ромб, є точка перетину його діагоналей.
Сума квадратів діагоналей дорівнює квадрату сторони, помноженому на чотири: AC² + BD² = 4AB²

Однією з основних властивостей є те, що ромб - це паралелограм, внаслідок чого ромб має усі ті властивості, що й паралелограм. Наприклад,

протилежні сторони паралельні;
прилеглі кути є суміжними;
дві діагоналі поділяють одна одну навпіл;
будь-яка пряма, що проходить через центр, поділяє площу навпіл;
сума квадратів сторін дорівнює сумі квадратів діагоналей (правило паралелограма).

Отож, якщо позначити сторону як a, а діагоналі як d₁ і d₂, то для кожного ромба

\displaystyle 4a^{2}=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}.

Не кожен паралелограм є ромбом, але кожен паралелограм, у якого діагоналі є перпендикулярними, є ромбом. В загальному випадку будь-який чотирикутник з перпендикулярними діагоналями, одна з яких є лінією симетрії, - це дельтоїд.

Сторона ромба

Ромб

Формули визначення довжини сторони ромба

Ромб

1. Формула сторони ромба через площу і висоту:

a={\frac {S}{h}}

2. Формула сторони ромба через площу і синус кута:

a={\frac {\sqrt {S}}{\sqrt {\sin {\alpha }}}}

a={\frac {\sqrt {S}}{\sqrt {\sin {\beta }}}}

3. Формула сторони ромба через площу і радіус вписаного кола:

a={\frac {S}{2r}}

4. Формула сторони ромба через дві діагоналі:

a={\frac {\sqrt {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}}}{2}}

5. Формула сторони ромба через діагональ і косинус гострого кута (cos α) або косинус тупого кута (cos β):

a={\frac {d_{1}}{\sqrt {2+2\cos {\alpha }}}}

a={\frac {d_{2}}{\sqrt {2-2\cos {\beta }}}}

6. Формула сторони ромба через більшу діагональ і половинний кут:

a={\frac {d_{1}}{2\cos {\frac {\alpha }{2}}}}

a={\frac {d_{1}}{2\sin {\frac {\beta }{2}}}}

7. Формула сторони ромба через малу діагональ і половинний кут:

a={\frac {d_{2}}{2\cos {\frac {\beta }{2}}}}

a={\frac {d_{2}}{2\sin {\frac {\alpha }{2}}}}

8. Формула сторони ромба через периметр:

a={\frac {P}{4}}

Діагоналі ромба

Ромб

Діагональ ромба — це відрізок, що з'єднує дві вершини протилежних кутів ромба.

Ромб має дві діагоналі — більшу d₁, та меншу — d₂

Формули визначення довжини діагоналі ромба

Ромб

1. Формули більшої діагоналі ромба через сторону і косинус гострого кута (cosα) або косинус тупого кута (cosβ)

d_{1}=a{\sqrt {2+2\cos \alpha }}

d_{1}=a{\sqrt {2-2\cos \beta }}

2. Формули меншої діагоналі ромба через сторону і косинус гострого кута (cosα) або косинус тупого кута (cosβ)

d_{2}=a{\sqrt {2+2\cos \beta }}

d_{2}=a{\sqrt {2-2\cos \alpha }}

3. Формули більшої діагоналі ромба через сторону і половинний кут:

d_{1}=2a\cdot \cos(\alpha /2)

d_{1}=2a\cdot \sin(\beta /2)

4. Формули меншої діагоналі ромба через сторону і половинний кут:

d_{2}=2a\cdot \sin(\alpha /2)

d_{2}=2a\cdot \cos(\beta /2)

5. Формули діагоналей ромба через сторону і другу діагональ:

d_{1}={\sqrt {4a^{2}-d_{2}^{2}}}

d_{2}={\sqrt {4a^{2}-d_{1}^{2}}}

6. Формули діагоналей через тангенс гострого tgα або тупого tgβ кута і другу діагональ:

d_{1}=d_{2}\cdot \tan(\beta /2)

d_{2}=d_{1}\cdot \tan(\alpha /2)

7. Формули діагоналей через площу і другу діагональ:

d_{1}={\frac {2S}{d_{2}}}

d_{2}={\frac {2S}{d_{1}}}

8. Формули діагоналей через синус половинного кута і радіус вписаного кола:

d_{1}={\frac {2r}{\sin(\alpha /2)}}

d_{2}={\frac {2r}{\sin(\beta /2)}}

Периметр ромба

Периметром ромба називається сума довжин всіх сторін ромба.

Формула периметра ромба через сторону ромба:

P=4\cdot a

Площа ромба

Ромб. Кожен кут, який відмічений чорною точкою є прямим кутом. Висота h є перпендикуляром між двома протилежними сторонами, яка дорівнює діаметру вписаного кола. Діагоналі з довжиною відміченими червоними пунктирними відрізками.

Площа ромба — це простір, обмежений сторонами ромба, тобто в межах периметра ромба.

Формули визначення площі ромба

1. Формула площі ромба через сторону і висоту:

S=a\cdot h

2. Формула площі ромба через сторону і синус будь-якого кута:

S=a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta

3. Формула площі ромба через сторону і радіус:

S=2a\cdot r

4. Формула площі ромба через дві діагоналі:

S={\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{2}}

5. Формула площі ромба через синус кута і радіус вписаного кола:

S={\frac {4\cdot r^{2}}{\sin \alpha }}

6. Формули площі через більшу діагональ і тангенс гострого кута (tgα) або малу діагональ і тангенс тупого кута (tgβ):

S={\frac {1}{2}}d_{1}^{2}\cdot \tan({\frac {\alpha }{2}}),

S={\frac {1}{2}}d_{2}^{2}\cdot \tan({\frac {\beta }{2}})

Коло, вписане у ромб

Коло, вписане у ромб

Колом, вписаним у ромб, називається коло, що дотикається до всіх сторін ромба та має центр на перетині діагоналей ромба.

Формули визначення радіуса кола, вписаного в ромб

1. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через висоту ромба:

r={\frac {h}{2}}

2. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через площу та сторону ромба:

r={\frac {S}{2a}}

3. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через площу та синус кута:

r={\frac {\sqrt {S\cdot \sin \alpha }}{2}}

4. Формули радіуса кола, вписаного в ромб, через сторону і синус будь-якого кута:

r={\frac {a\cdot \sin \alpha }{2}}

r={\frac {a\cdot \sin \beta }{2}}

5. Формули радіуса кола, вписаного в ромб, через діагональ та синус кута:

r={\frac {d_{1}\cdot \sin(\alpha /2)}{2}}

r={\frac {d_{2}\cdot \sin(\beta /2)}{2}}

6. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через дві діагоналі:

r={\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{2{\sqrt {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}}}}}

7. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через дві діагоналі та сторону:

r={\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{4a}}

Рівняння

Сторони ромба, центр якого суміщено з центром координат із діагоналями, що розташовані на осях, будуть складатися із точок (x, y), що задовільняють рівняння

\left|{\frac {x}{a}}\right|\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|\!=1.

Вершини знаходитимуться в точках $(\pm a,0)$ і $(0,\pm b).$ Це є особливим випадком супереліпса із експонентою 1.

Див. також

Ромбоїд

Примітки

ῥόμβος, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
ρέμβω, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
The Origin of Rhombus. Архів оригіналу за 2 квітня 2015. Процитовано 23 лютого 2018.

Посилання

Ромб // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 174. — ISBN 978-966-7407-83-4.
Ромб. Формули, ознаки та властивості ромба

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] ῥόμβος, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus

[2] ρέμβω, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus

[3] The Origin of Rhombus. Архів оригіналу за 2 квітня 2015. Процитовано 23 лютого 2018.