Передпорядок

Категорія ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ називається передпорядком, якщо для будь-яких двох об'єктів ${\displaystyle a,b\in Ob{\mathcal {P}}}$ існує не більше одного морфізму ${\displaystyle f\colon a\to b.}$ Якщо ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ — мала категорія, то на множині її об'єктів можна задати відношення передпорядка за наступним правилом:

${\displaystyle a\leqslant b\iff \exists f\colon a\to b}$

З аксіом категорії слідує, що таке відношення буде рефлексивним і транзитивним. Передпорядок — це абстрактна категорія, тобто його у загальному випадку не можна представити як категорію деяких множин із заданою структурою і відображеннями, що зберігають цю структуру.

• Передпорядок — це скелетна категорія.
• Якщо мала категорія ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ повна в малому, то вона є предпорядком, причому кожна менша множина його елементів має найбільшу нижню грань.
• Добуток набору (множини, класу і т. п.) об'єктів предпорядку — це найбільша нижня грань для цього набору. Кодобуток набору об'єктів — це його найменша верхня грань.
• Початковий об'єкт ${\displaystyle 0}$ у передпорядку ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, якщо він існує, — це його найменший об'єкт, так що ${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {P}}\colon 0\leqslant a.}$ Аналогиічно, термінальний об'єкт передпорядку — це найбільший об'єкт у ньому.

Категорія передпорядків позначається зазвичай ${\displaystyle \mathbf {Preord} .}$ Об'єктами категорії передпорядків є передпорядки (в сенсі категорій), зокрема, множини, на яких задані відношення передпорядку. Морфізми в цій категорії — відображення множин, зберігають відношення предпорядку, тобто монотонні відображення. Розглянемо в ${\displaystyle \mathbf {Preord} }$ підкатегорію малих передпорядків ${\displaystyle \mathbf {Preord} _{S}.}$ Це конкретна категорія, наділена очевидним унівалентним забуваючим функтором

${\displaystyle U\colon \mathbf {Preord} _{S}\to \mathbf {Set} ,}$

який зіставляє кожному малому передпорядку множину його об'єктів, а кожному морфізму — монотонне відображення відповідних множин. Цей функтор створює межі в ${\displaystyle \mathbf {Preord} }$. Таким чином, аналогічно ${\displaystyle \mathbf {Set} ,}$ початковим об'єктом в ${\displaystyle \mathbf {Preord} }$ є порожня множина, термінальним об'єктом — множина з одного елементу, добутком об'єктів — прямий добуток відповідних множин з покомпонентним порівнянням, тощо.