Антисиметричне відношення

В математиці, бінарне відношення R на множині X є антисиметричним, коли для будь-яких a та b з X, таких що a відноситься до b, і a${\displaystyle \neq }$b, випливає що b не відноситься до a.

${\displaystyle \forall a,b\in X,\ aRb\land a\neq b\Rightarrow \lnot R(b,a).}$

Співвідношення антисиметричності нічого не говорить про відношення між однаковими елементами. Проте з вище вказаної умови випливає співвідношення:

${\displaystyle \forall a,b\in X,\ aRb\land bRa\;\Rightarrow \;a=b}$

Рівність a = b отримаємо лише у випадку рефлексивого відношення.

У випадку, якщо на антисиметричне відношення додатково накласти умову антирефлексивності, то відношення стане асиметричним:

${\displaystyle \forall a,b\in X,\ aRb\;\Rightarrow \lnot (bRa)}$.

Зазвичай відношення порядку ≤ на множині дійсних чисел є антисиметричними: якщо для двох дійсних чисел x і y обидві нерівності x ≤ y і y ≤ x виконуються, то x і y мають бути рівними. Крім того, підмножина порядку ⊆ на множині будь-якого набору антисиметрична: дано дві множини A і B, якщо кожен елемент, що знаходиться в A також знаходиться в B і кожен елемент B також в A, то A і B повинні містити однакові елементи, тоді:

${\displaystyle A\subseteq B\land B\subseteq A\Rightarrow A=B}$

Матриця антисиметричного відношення характеризується тим, що немає жодної пари одиниць на місцях, симетричних відносно головної діагоналі. У графі такого відношення можуть бути петлі, але зв'язок між вершинами, якщо він є, також відбувається тільки однією спрямованою дугою.