Плюрігармонічна функція

Плюрігармонічна функція — два рази неперервно диференційовна, функція комплексних змінних ${\displaystyle f\colon G\subset {\mathbb {C} }^{n}\to {\mathbb {C} }}$, така що для будь-якої комплексної прямої ${\displaystyle \{a+bz\mid z\in {\mathbb {C} }\}}$ функція

${\displaystyle z\mapsto f(a+bz)}$

є гармонічною на множині

${\displaystyle \{z\in {\mathbb {C} }\mid a+bz\in G\}}$.

Аналогічним означення є і для функцій кількох комплексних змінних зі значенням у множині дійсних чисел.

Для дійснозначних функцій також можна дати еквівалентне означення через часткові похідні. Нехай ${\displaystyle f\colon G\subset {\mathbb {C} }^{n}\to {\mathbb {R} }:(z_{1},\ldots ,z_{n})\to f(z_{1},\ldots ,z_{n})}$ така функція і ${\displaystyle z_{k}=x_{k}+y_{k}i,\;k=1,\ldots ,n}$ — запис комплексних змінних через їх дійсні і уявні складові. Функція ${\displaystyle f}$ є плюрісубгармонічною тоді і тільки тоді, коли вона має неперервні часткові похідні по змінних ${\displaystyle x_{k},y_{l}}$ до другого порядку включно і задовольняє систему рівнянь:

${\displaystyle {\begin{cases}{\partial ^{2}f \over \partial x_{k}\partial x_{l}}+{\partial ^{2}f \over \partial y_{k}\partial y_{l}}=0,\\{\partial ^{2}f \over \partial x_{k}\partial y_{l}}-{\partial ^{2}f \over \partial y_{k}\partial x_{l}}=0,\end{cases}}}$

де ${\displaystyle k,l=1,\ldots ,n.}$

Позначаючи, як звично:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),}$

дану систему можна записати у більш зручному виді:

${\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial z_{k}\partial {\bar {z}}_{l}}=0,\;\;k,l=1,\ldots ,n.}$

Комплекснозначна функція буде плюрігармонічною тоді і тільки тоді, коли її дійсна і уявна частини задовольнятимуть рівнянням вище.