Субгармонічна функція

В математиці субгармонічними і супергармонічними функціями називають важливі класи функцій багатьох дійсних змінних, що є узагальненнями гармонічних функцій і мають широке застосування в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, комплексному аналізі, теорії потенціалу.

Означення

Нехай Функція змінної називається субгармонічною якщо для неї виконуються умови:

  1. є напівнеперервною зверху в
  2. Якщо — довільна замкнута куля з центром в і радіусом що міститься в і — дійснозначна неперервна функція визначена на що є гармонічною в і для якої для всіх на границі кулі то також для всіх

Другу умову можна записати кількома еквівалентними способами, зважаючи на властивості гармонічних функцій. Зокрема в тих же позначеннях умову можна записати через інтеграл на сфері. Існує як завгодно мале число таке що

де — об'єм одиничної кулі в

Еквівалентно умову можна записати через інтеграл по об'єму кулі:

Функція називається супергармонічною якщо є субгармонічною функцією.

Комплексні змінні

Якщо то вона є субгармонічною тоді і тільки тоді коли оператор Лапласа є невід'ємним.

На комплексній площині функція комплексної змінної називається субгармонічною, якщо вона є субгармонічною функцією двох дійсних змінних (дійсної і уявної частини комплексної змінної). Тоді в позначеннях комплексного аналізу другу умову у визначенні можна записати як:

де коло і обмежений ним круг знаходяться в області визначення функції. Подібно поняття субгармонічних і супергармонічних функцій вводиться і для комплексних просторів вищих порядків.

Ріманів многовид

Нехай Mріманів многовид і є напівнеперервною функцією. f називається субгармонічною якщо для кожної відкритої підмножини і довільної гармонічної функції f1 на U, для якої на границі множини U, нерівність виконується всюди на U.

Як і раніше для двічі неперервно диференційовних функцій рівносильною є умова на оператор Лапласа: .

Властивості

  • Функція є гармонічною тоді і тільки тоді, коли вона є одночасно субгармонічною і супергармонічною.
  • Якщо є субгармонічними функціями в області і — додатні дійсні числа, то лінійна комбінація теж є субгармонічною функцією.
  • Верхня межа скінченної множини субгармонічних функцій є субгармонічною функцією. Якщо супремум нескінченної множини субгармонічних функцій є напівнеперервною зверху функцією, то він є також субгармонічною функцією.
  • Рівномірно збіжна і монотонно спадна послідовності субгармонічних функцій збігаються до субгармонічних функцій.
  • Якщо — субгармонічна функція в , а опукла неспадна функція на області значень функції в , або якщо гармонічна функція в , а — опукла функція в тій же області значень, то — субгармонічна функція в . Зокрема, якщо — субгармонічна функція в , то , і де є субгармонічними функціями в ; якщо — гармонічна функція в , то — субгармонічна функція в .
  • Максимум субгармонічної функції не може досягатися у внутрішній точці її області визначення, якщо ця функція не є константою.Мінімум функції натомість може досягатися у внутрішній точці. Відповідно для супергармонічних функцій у внутрішніх точках області визначення може досягатися максимум функції але не мінімум.
  • Якщо — субгармонічна функція в області комплексного простору і голоморфне відображення області в , то є субгармонічною функцією в
  • Якщо — субгармонічна функція у всій площині , що є обмеженою зверху, то при аналогічне твердження не є правильним)

Середні значення субгармонічних функцій

  • Якщо є субгармонічною функцією на кільці , то визначені вище функції і (при ), також є опуклими, як функції від при і при.
  • Якщо є субгармонічною функцією на куліто і є неперервними і неспадними функціями від (вважається ) і також для
  • Функції і як функції при фіксованих інших параметрах є субгармонійними функціями у своїх областях визначення і також є неперервною функцією.

Теорема Ріса

Ньютонів потенціал і логарифмічний потенціал невід'ємних мас, взяті зі знаком мінус, є субгармонічними функціями всюди в просторі .

З іншого боку, однією з основних в теорії субгармонічних функцій є теорема Ріса про локальне представлення довільної субгармонічної функції у вигляді суми гармонічної функції і взятого зі знаком мінус потенціалу.

Якщо є субгармонічною функцією в області просторі , то для кожної компактної підмножини справедливим є розклад:

і для розмірності 2,

де — гармонічна функція, міра Бореля в .

Якщо є зв'язаною компактною множиною, то також можна здійснити розклад:

де — найкраща гармонічна мажоранта, функція Гріна.

Див. також

Література

  • Πρивалов И. И., Субгармонические функции, М.—Л., 1937;
  • Хейман У., Кеннеди П., Субгармонические функции, пер. с англ., М., 1980;
  • Rado T., Subharmonic functions, В., 1937;
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.